- •Часть 1
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Источники и причины погрешностей математической модели
- •Погрешность математической модели
- •Погрешность исходных данных
- •Погрешность численного метода
- •Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах
- •Погрешности округления чисел в эвм
- •Погрешность результатов вычисления арифметических операций
- •“Потеря порядка” и “переполнение” при проведении вычислений на эвм
- •Машинная реализация вычислений
- •Контрольные вопросы и задания
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Прямые методы решения
- •Метод Гаусса
- •Определение числа операций алгоритма метода Гаусса
- •Вычисление определителя матрицы
- •Построение обратной матрицы
- •Метод квадратного корня
- •Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня
- •Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений
- •Итерационные методы решения
- •Метод Якоби1
- •Метод Зейделя1
- •Сходимость итерационных методов
- •Скорость сходимости
- •Полиномы Чебышёва1
- •Итерационный метод с чебышёвским набором параметров
- •Неявный метод с чебышёвским набором параметров
- •Метод минимальных невязок
- •Метод минимальных поправок
- •Метод скорейшего спуска
- •Неявный метод скорейшего спуска
- •Контрольные вопросы и задания
- •3.НелинейныЕ уравнения
- •Методы вычисления корней нелинейного уравнения1 Метод половинного деления2
- •Метод простых итераций
- •Метод Ньютона2
- •Модификации метода Ньютона
- •Системы нелинейных уравнений
- •Метод простых итераций
- •Метод релаксации
- •Метод Ньютона
- •Нелинейный вариант метода Якоби
- •Нелинейный вариант метода Зейделя
- •Контрольные вопросы и задания
- •Интерполяция степенными функциями
- •Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа)
- •Сходимость интерполяционного процесса
- •Интерполяционный многочлен Эрмита1
- •Интерполяция сплайнами
- •Построение кубического сплайна
- •Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами
- •Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы и задания
- •5. Алгебраическая проблема собственных значений
- •Устойчивость собственных значений и векторов
- •Определение собственных значений и векторов Метод интерполяции
- •Трехдиагональные матрицы
- •Поиск собственных векторов
- •Частичная проблема собственных значений
- •Метод линеаризации
- •Степенной метод
- •Метод обратных итераций
- •Контрольные вопросы и задания
- •6.Численное дифференцирование Конечно-разностная аппроксимация
- •Применение интерполяционных формул
- •Контрольные вопросы и задания
- •7.Численное интегрирование
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона1
- •Формула Эйлера1
- •Оценка погрешности методом Рунге2
Метод Ньютона2
Для поиска корней уравнения (3.1) в окрестности решения выберем точку x и разложим функцию f(x) в ряд Тейлора2 возле этой точки:
.
Отсюда следует приближенное равенство
,
которое с учетом
позволяет получить выражение
,
приводящее к итерационному процессу следующего вида:
. (3.6)
Очевидно, что метод Ньютона можно рассматривать как вариант метода простых итераций, при условии .
Геометрическая иллюстрация итерационного процесса метода Ньютона приведена на рис. 3.4, из которого понятно, что каждое следующее приближение может быть определено из геометрических построений:
.
f(x)
f(x0)
f(x1)
f(x2)
x3
x2
x1 x0
x
Рис. 3.4. Геометрический смысл процедуры метода Ньютона
Пример 3.2. Требуется определить корни уравнения .
Согласно рассмотренному методу Ньютона строится итерационная процедура
.
Поскольку
,
.
Таким образом, применение процедуры метода Ньютона к заданному уравнению приводит к вычислительному процессу
.
Для а=2 “точное” решение . Результаты расчетов приведены в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Последовательность получения приближенного решения
уравнения методом Ньютона
-
Номер итерации
Приближения решения
1
2,0
-10,0
2
1,5
-5,1
3
1,416666667
-2,746078431
4
1,414215686
-1,737194874
5
1,414213562
-1,444238095
6
1,4142135624
-1,414525655
7
1,4142135624
-1,414213597
8
1,4142135624
-1,4142135624
Теорема 3.2. Пусть выполнены следующие предположения:
- - корень уравнения f(x) = 0;
- первая производная ;
- вторая производная непрерывна в А;
- константа , где .
Тогда, если , то метод Ньютона сходится, причем
. (3.7)
Доказательство.
Для оценки погрешности решения воспользуемся формулой Тейлора для функции f(x) возле точки :
.
В силу получаем соотношение
.
С другой стороны, согласно методу Ньютона,
.
Отсюда,
, (3.8)
то есть имеет место квадратичная сходимость.
Пусть . Из формулы (3.8) получаем
,
то есть оценка (3.7) выполнена для N=1. Допустим, что формула (3.7) верна для произвольного q. С учетом условия С<1, имеем
,
то есть , а следовательно определены
.
Из соотношения (3.8) получаем
Согласно (3.7)
.
С учетом этого, из предыдущего выражения следует:
Но это как раз и означает, что формула (3.7) справедлива при N = q+1.
В силу C<1 из выражения (3.7) следует сходимость метода Ньютона:
,
что и требовалось доказать.