- •Часть 1
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Источники и причины погрешностей математической модели
- •Погрешность математической модели
- •Погрешность исходных данных
- •Погрешность численного метода
- •Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах
- •Погрешности округления чисел в эвм
- •Погрешность результатов вычисления арифметических операций
- •“Потеря порядка” и “переполнение” при проведении вычислений на эвм
- •Машинная реализация вычислений
- •Контрольные вопросы и задания
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Прямые методы решения
- •Метод Гаусса
- •Определение числа операций алгоритма метода Гаусса
- •Вычисление определителя матрицы
- •Построение обратной матрицы
- •Метод квадратного корня
- •Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня
- •Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений
- •Итерационные методы решения
- •Метод Якоби1
- •Метод Зейделя1
- •Сходимость итерационных методов
- •Скорость сходимости
- •Полиномы Чебышёва1
- •Итерационный метод с чебышёвским набором параметров
- •Неявный метод с чебышёвским набором параметров
- •Метод минимальных невязок
- •Метод минимальных поправок
- •Метод скорейшего спуска
- •Неявный метод скорейшего спуска
- •Контрольные вопросы и задания
- •3.НелинейныЕ уравнения
- •Методы вычисления корней нелинейного уравнения1 Метод половинного деления2
- •Метод простых итераций
- •Метод Ньютона2
- •Модификации метода Ньютона
- •Системы нелинейных уравнений
- •Метод простых итераций
- •Метод релаксации
- •Метод Ньютона
- •Нелинейный вариант метода Якоби
- •Нелинейный вариант метода Зейделя
- •Контрольные вопросы и задания
- •Интерполяция степенными функциями
- •Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа)
- •Сходимость интерполяционного процесса
- •Интерполяционный многочлен Эрмита1
- •Интерполяция сплайнами
- •Построение кубического сплайна
- •Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами
- •Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы и задания
- •5. Алгебраическая проблема собственных значений
- •Устойчивость собственных значений и векторов
- •Определение собственных значений и векторов Метод интерполяции
- •Трехдиагональные матрицы
- •Поиск собственных векторов
- •Частичная проблема собственных значений
- •Метод линеаризации
- •Степенной метод
- •Метод обратных итераций
- •Контрольные вопросы и задания
- •6.Численное дифференцирование Конечно-разностная аппроксимация
- •Применение интерполяционных формул
- •Контрольные вопросы и задания
- •7.Численное интегрирование
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона1
- •Формула Эйлера1
- •Оценка погрешности методом Рунге2
Модификации метода Ньютона
Одна из модификаций метода Ньютона заключается в том, что производную от функции f(x) определяют лишь один раз для начальной точки итерационного процесса (рис. 3.5 а):
.
При таком способе решения уравнения скорость сходимости уменьшается, иногда существенно. Эту модификацию метода целесообразно применять в том случае, когда вычисление производной связано с большими затратами вычислительных ресурсов (времени, оперативной памяти), либо когда аналитический вид функции f(x) неизвестен, что часто бывает при решении прикладных инженерных проблем. Кроме того, практически всегда можно подобрать начальное значение таким образом, что , то есть не будет аварийной остановки вычислительного алгоритма.
Другая модификация (метод секущих) заключается в замене производной функции f(x) ее разностным аналогом (рис. 3.5 b):
.
В этом случае получена двухточечная схема, то есть для начала расчетов необходимо задать две начальные точки .
Пример 3.3. Определить корни уравнения
.
Точное решение этого уравнения: .
Для использования метода простых итераций представим это уравнение в форме (3.2):
Для проверки условий сходимости в качестве константы условия Липшица возьмем
.
Очевидно, что 0 < C < 1 на интервале (-2, 2), r = 2. Центр интервала a = 0. При этих параметрах условие теоремы
не выполняется, чем объясняется отсутствие сходимости решения, например, при начальном приближении .
Поскольку
,
алгоритм метода Ньютона в соответствии с выражением (3.6) записывается в виде:
.
Результаты вычисления по обоим алгоритмам приведены в табл. 3.3.
x5
x4
x3
x2
x1
x0
x3
x2
x1
x0
a b
Рис. 3.5. Схемы модифицирования метода Ньютона:
a - с начальным значением касательной; b - метод секущих
Возможно, что на заданном отрезке может оказаться несколько корней. В этом случае итерационный процесс позволит вычислить какой-то один корень уравнения. Для отделения корней в некоторых случаях можно воспользоваться следующим приемом.
Пусть найден корень . Построим функцию
.
Рассмотрим . Вычисление этого предела приводит к неопределенности типа . Согласно правилу Лопиталя1 [10],
при условии ограниченности производной функции, то есть в случае . При отсутствии кратных корней новая функция и “слева”, и “справа” от точки будет иметь один и тот же знак. После нахождения следующего корня строится функция
,
и так далее.
Таблица 3.3.
Решение уравнения методами Ньютона и простых итераций при различных начальных приближениях
-
Номер итерации
Метод простых итераций
Метод Ньютона
1
0,5
2,5
4,0
0,0
4,0
2
0,821
2,3125
4,75
0,75
3,25
3
0,915039
2,0869
6,3906
0,975
3,025
4
0,9593241
1,8388
10,96
0,9996951
3,0003048
5
0,9800756
1,5953
30,78
0,9999999
3,0
6
0,990137
1,3862
273,6
1,0
-
7
0,9950928
1,2304
14115,4
-
-
8
0,9975524
1,1285
49811068
-
-
9
0,9987777
1,0684
-
-
10
0,9993892
1,0354
-
-
11
0,9996947
1,0180
-
-
12
0,9998473
1,0091
-
-