Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Пермский государственный технический университет

Кафедра математического моделирования систем и процессов

М. Г. Бояршинов

Ч и с л е н н ы е м е т о д ы

Учебное пособие для студентов направления

“Прикладная математика и информатика”

Часть 1

Пермь

УДК 681.3

Б 86

Численные методы: Учебное пособие для студентов направления “Прикладная математика и информатика” / М. Г. Бояршинов; Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, . - 176 с.

Учебное пособие написано на основе курса, читаемого студентам направления “Прикладная математика и информатика” (специализация “Математическое моделирование”) в Пермском государственном техническом университете.

Введены основные понятия математического моделирования, рассмотрены причины и источники погрешностей при проведении вычислительного эксперимента. Рассмотрены прямые и итерационные методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, вопросы аппроксимации функций полиномами и сплайнами, вопросы численного дифференцирования и интегрирования. Сформулирована алгебраическая проблема собственных значений и векторов, определены пути ее решения. Основное внимание уделяется оценкам погрешности при проведении вычислений, устойчивости и сходимости алгоритмов решения прикладных задач.

Пособие предназначено для студентов и аспирантов вузов, специалистов, занимающихся вопросами построения моделей систем и процессов. Может быть полезно учителям средних учебных заведений при проведении факультативных занятий по компьютерному моделированию.

Печатается по решению редакционно - издательского совета Пермского государственного технического университета.

Табл. 13. Ил. 28. Библиогр. : 12 назв.

Рецензенты:

д-р физ.-мат наук Е. Л. Тарунин; зав. кафедрой математики и информатики Перм. гос. ун-та,

канд. физ.-мат. наук О. Ю. Сметанников

ISBN 5 - 88151 - 158 - 1  Пермский государственный

технический университет, 1998

Оглавление

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. Источники и причины погрешностей математической модели. . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Погрешность математической модели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Погрешность исходных данных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Погрешность численного метода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах. . . . . . . . . . . 13

Погрешности округления чисел в ЭВМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Погрешность результатов вычисления арифметических операций . . . . . . . . .14

“Потеря порядка” и “переполнение” при проведении вычислений на ЭВМ 15

Машинная реализация вычислений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Системы линейных алгебраических уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Прямые методы решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Метод Гаусса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Определение числа операций алгоритма метода Гаусса. . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Вычисление определителя матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Построение обратной матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Метод квадратного корня. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня. . . . . . . 35

Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений. . . . . . . . . . . . . . . 36

Итерационные методы решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Метод Якоби. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Метод Зейделя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Сходимость итерационных методов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Скорость сходимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Полиномы Чебышёва. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Итерационный метод с чебышёвским набором параметров. . . . . . . . . . . . . . 61

Неявный метод с чебышевским набором параметров. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Метод минимальных невязок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Метод минимальных поправок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Метод скорейшего спуска. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Неявный метод скорейшего спуска. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.Нелинейные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Методы вычисления корней нелинейного уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Метод половинного деления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Метод простых итераций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Метод Ньютона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Модификации метода Ньютона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Системы нелинейных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Метод простых итераций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Метод релаксации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Метод Ньютона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Нелинейный вариант метода Якоби. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Нелинейный вариант метода Зейделя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4. Аппроксимация функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Интерполяция степенными функциями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Интерполяционный многочлен Ньютона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Интерполяционная формула Лагранжа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Сходимость интерполяционного процесса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Интерполяционный многочлен Эрмита. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Интерполяция сплайнами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Построение кубического сплайна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами. . . . . . . . . . . 110

Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . 117

Метод наименьших квадратов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5. Алгебраическая проблема собственных значений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Устойчивость собственных значений и векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Определение собственных значений и векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Метод интерполяции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Трехдиагональные матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Поиск собственных векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Частичная проблема собственных значений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Метод линеаризации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Степенной метод. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Метод обратных итераций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.Численное дифференцирование. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Конечно-разностная аппроксимация. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Применение интерполяционных формул. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.Численное интегрирование. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Формула прямоугольников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Формула трапеций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Формула Симпсона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Формула Эйлера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Оценка погрешности методом Рунге. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Квадратурные формулы интерполяционного типа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Квадратурные формулы наивысшей точности. Формулы Гаусса. . . . . . . . . . . 164

Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Предметный указатель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176