Интерполяционная формула Лагранжа
Идея записи интерполяционного полинома Лагранжа заключается в следующем:
, (4.4)
то есть в каждой точке x значение полинома
определяется как линейная комбинация
табличных значений.
Воспользуемся условием (4.1) :
.
Отсюда очевидно, что должно выполняться условие
,
то есть на отрезке интерполяции [a, b]
каждая из функций
должна иметь n корней.
Вполне естественно представить в виде полиномов
,
-
нормировочный коэффициент, определяемый
из условия, что
,
то есть
.
Теперь можно записать полином Лагранжа в общем виде:
. (4.5)
Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа)
Погрешность представления функции полиномом оценим разностью
.
Очевидно, что в узлах
погрешность
.
Для оценки погрешности выберем и
зафиксируем произвольную точку
.
Рассмотрим вспомогательную функцию
, (4.6)
K - константа. Очевидно, что
.
Выберем константу К в выражении (4.6) так,
чтобы для выбранного значения x функция
g(x) = 0, то есть
.
Пусть функция y(x) имеет (n+1) производную,
то есть является достаточно гладкой
функцией. Согласно построению функция
g(s) имеет не менее (n+2) нулей в точках
.
В этом случае функция
на отрезке [a,b] имеет не менее (n+1) нулей;
- не менее n нулей, и так далее. И, наконец,
имеет хотя бы один корень на отрезке
[a,b]. Иначе говоря,
.
В силу определения функции g(s),
,
и для точки получаем
.
Отсюда следует
.
Окончательно,
. (4.7)
В частном случае, когда y(x) является
полиномом степени n,
и
.
Дополнительно можно подобрать такое
распределение узловых точек
,
чтобы минимизировать выражение
,
являющееся полиномом степени n со старшим коэффициентом, равным 1. Иначе говоря, получена задача Чебышёва, рассмотренная ранее. Искомый полином имеет на отрезке [a,b] корни
.
Оценка модуля полинома, наименее уклоняющего от нуля,
.
Оценка погрешности полинома Ньютона (Лагранжа) при использовании узловых точек, соответствующих корням полинома Чебышева, имеет вид
.
Сходимость интерполяционного процесса
Множество точек
назовем сеткой на отрезке [a, b] и
обозначим
.
Рассмотрим последовательность сеток
Построим на отрезке [a,b] последовательность
полиномов
,
аппроксимирующих с помощью сеток
функцию y(x).
Интерполяционный процесс сходится
в точке
,
если существует предел
(определение поточечной сходимости).
Интерполяционный процесс сходится равномерно на отрезке [a, b], если
.
Теорема 4.1 (Фабера1). Какова бы ни была последовательность сеток , найдется непрерывная на [a,b] функция y(x) такая, что последовательность интерполяционных полиномов не сходится к y(x) равномерно на этом отрезке.
На рис. 4.1 приведен пример аппроксимации непрерывной функции f(x) = |x| на последовательности сеток с равноотстоящими узлами.
Рис. 4.1. Аппроксимация на отрезке [-1, 1] функции f(x) = |x| полиномами Pn, построенными с использованием равномерных сеток
На рис. 4.2 представлен график погрешности аппроксимации функции f(x) = |x| полиномамм на равномерных сетках в зависимости от числа отрезков сеточной области.
Рис. 4.2. Погрешность аппроксимация на отрезке [-1, 1] функции f(x) = |x| в зависимости от числа отрезков равномерной сетки.
Теорема 4.2. Если функция y(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такая последовательность сеток, для которой интерполяционный процесс сходится равномерно на этом отрезке.
На рис. 4.3 приведен пример аппроксимации непрерывной функции f(x) = |x| на последовательности неравномерных (чебышевских) сеток. На рис. 4.4 представлен график погрешности аппроксимации функции f(x) = |x| полиномом Pn на чебышевской сетке в зависимости от числа отрезков сеточной области.
Рис. 4.3. Аппроксимация на отрезке [-1, 1] функции f(x) = |x| полиномами Pn, построенными с использованием чебышёвских сеток