Интерполяционный многочлен Эрмита1

Пусть заданы значения функции и некоторых ее производных в точках отрезка [a,b]. Если потребовать от полинома совпадения не только значений функции (4.1), но и значений производных в заданных точках, то интерполяция носит название эрмитовой, а сам полином обозначается как .

Построим полином согласно процедуре Ньютона. Далее начнем сближать, например, узлы и , которые в пределе совпадут, то есть появится кратный узел , что делает невозможным подсчет разделенной разности,

.

Однако с помощью предельного перехода можно установить, что

.

Рис. 4.4. Погрешность аппроксимация функции f(x) = |x| на отрезке [-1, 1] в зависимости от числа отрезков чебышёвской сетки.

Иными словами, первая разделенная разность, что уже отмечалось ранее, совпадает со значением первой производной в точке . Это будет означать также, что полином Эрмита позволяет правильно передавать значения производных.

Разделенные разности более высоких порядков определяются с учетом этого следующим образом:

,

.

Отсюда следует, что слияние трех узлов дает возможность интерполяции значений вторых производных, и так далее.

В общем случае имеет место формула:

.

Оценку точности аппроксимации выполним с ипользованием формулы (4.7):

,

где p - число точек интерполяции, - число значений функции и ее производных в точке . Такой выбор функции обеспечивает обращение в нуль не только g(s), но и ее производных .

На рис. 4.5 приведены приближения функции полиномами Эрмита H₃(x), H₅(x), H₇(x), H₉(x) (на рисунке аппроксимация H₉(x) практически совпадает с самой функций) и полиномом Лагранжа P₉(x) для отрезка [0, 25] на равномерных сеточных множествах.

Рис. 4.5. Графики интерполяционных полиномов Эрмита и Лагранжа

Интерполяция сплайнами

Сплайн - способ аппроксимации функции, заданной таблично, с помощью набора кусочно-полиномиальных зависимостей. Исторически понятие сплайна¹ связывают с гибкой линейкой, применяемой в чертежных работах. Из курса механики деформируемых стержней известно уравнение изгиба упругого стержня:

,

где Е - модуль упругости, I - момент инерции поперечного сечения, u - функция прогиба, q(x) - распределенная нагрузка. В случае отсутствия нагрузки получаем однородное уравнение

,

имеющее решение, представляемое кубическим полиномом

,

- постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий. Иными словами, гибкая линейка, помещенная на плоскости, плавно (то есть без изломов) изогнется так, что ее форму между любыми двумя соседними точками можно описать кубической параболой. Поэтому традиционно под сплайном понимают интерполяцию табличной функции с помощью отрезков кубического полинома.

Построение кубического сплайна

Пусть на отрезке [a,b] задана сетка ; известны табличные значения функции в узлах этой сетки.

Потребуем, чтобы сплайн S(x) удовлетворял следующим условиям:

а) на каждом сегменте являлся полиномом третьей степени;

б) был непрерывен вместе с первой и второй производными на [a,b];

в) совпадал со значениями аппроксимируемой функции в узлах сетки.

Сплайн S(x) на каждом сегменте отрезка строится в виде

; (4.8)

Первые и вторые производные:

,

,

двух “соседних” сплайнов S_k(x) и S_k+1(x) в общей точке должны удовлетворять условию б), откуда получаем систему уравнений (условия непрерывности сплайна и его производных):

, ,

.

И, наконец, условия в) дают выражения

.

Обозначим длины отрезков. Теперь предыдущие выражения можно записать в виде системы алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов :

, (4.9)

, (4.10)

, (4.11)

. (4.12)

Система (4.9) - (4.12) содержит ( 4n - 3) уравнения с (4n) неизвестными. Учтем дополнительно, что для точки имеет место соотношение

.

Используя соотношения (4.12), в последнем выражении и уравнениях (4.9) можно исключить “лишние” неизвестные , а сами уравнения записать в форме

. (4.13)

В результате система (3n-2) уравнений (4.10), (4.11) и (4.13) содержит 3n неизвестных .

Для “замыкания“ этой системы уравнений положим

, (4.14)

, (4.15)

что соответствует “нулевым” кривизнам в начальной и конечной точках, то есть “свободным” концам сплайна. Возможны и иные условия для замыкания системы уравнений, например, указание значения производной (наклона касательной) в конечной или начальной точках, и некоторые другие.

Условие (4.14) с помощью выражения (4.8) удобно представить в форме

,

а формулу (4.15) - в виде

,

что позволяет переписать уравнения (4.11)

(4.16)

В итоге получена система (3n+1) уравнений (4.10), (4.13), (4.16), содержащих (3n+1) неизвестную величину.

Рассмотрим два уравнения вида (4.13)

Подставим полученные выражения для в уравнения (4.10) :

.

Формулы (4.16) позволяют получить выражения

,

благодаря чему предыдущая формула преобразуется к виду:

Приводя подобные слагаемые и учитывая условия (4.14) и (4.15), получаем

(4.17)

В итоге всех преобразований получена система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов. После определения всех неизвестных величин определяются остальные коэффициенты сплайнов