- •Часть 1
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Источники и причины погрешностей математической модели
- •Погрешность математической модели
- •Погрешность исходных данных
- •Погрешность численного метода
- •Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах
- •Погрешности округления чисел в эвм
- •Погрешность результатов вычисления арифметических операций
- •“Потеря порядка” и “переполнение” при проведении вычислений на эвм
- •Машинная реализация вычислений
- •Контрольные вопросы и задания
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Прямые методы решения
- •Метод Гаусса
- •Определение числа операций алгоритма метода Гаусса
- •Вычисление определителя матрицы
- •Построение обратной матрицы
- •Метод квадратного корня
- •Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня
- •Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений
- •Итерационные методы решения
- •Метод Якоби1
- •Метод Зейделя1
- •Сходимость итерационных методов
- •Скорость сходимости
- •Полиномы Чебышёва1
- •Итерационный метод с чебышёвским набором параметров
- •Неявный метод с чебышёвским набором параметров
- •Метод минимальных невязок
- •Метод минимальных поправок
- •Метод скорейшего спуска
- •Неявный метод скорейшего спуска
- •Контрольные вопросы и задания
- •3.НелинейныЕ уравнения
- •Методы вычисления корней нелинейного уравнения1 Метод половинного деления2
- •Метод простых итераций
- •Метод Ньютона2
- •Модификации метода Ньютона
- •Системы нелинейных уравнений
- •Метод простых итераций
- •Метод релаксации
- •Метод Ньютона
- •Нелинейный вариант метода Якоби
- •Нелинейный вариант метода Зейделя
- •Контрольные вопросы и задания
- •Интерполяция степенными функциями
- •Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа)
- •Сходимость интерполяционного процесса
- •Интерполяционный многочлен Эрмита1
- •Интерполяция сплайнами
- •Построение кубического сплайна
- •Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами
- •Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы и задания
- •5. Алгебраическая проблема собственных значений
- •Устойчивость собственных значений и векторов
- •Определение собственных значений и векторов Метод интерполяции
- •Трехдиагональные матрицы
- •Поиск собственных векторов
- •Частичная проблема собственных значений
- •Метод линеаризации
- •Степенной метод
- •Метод обратных итераций
- •Контрольные вопросы и задания
- •6.Численное дифференцирование Конечно-разностная аппроксимация
- •Применение интерполяционных формул
- •Контрольные вопросы и задания
- •7.Численное интегрирование
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона1
- •Формула Эйлера1
- •Оценка погрешности методом Рунге2
Определение собственных значений и векторов Метод интерполяции
Пусть задана матрица А размером . Очевидно, что характеристический многочлен в этом случае имеет порядок n (полином степени n), и задача заключается в определении корней этого полинома.
Алгоритм вычисления собственных значений матрицы А следующий:
1. Строится функция :
- на числовой оси выбирается (n+1) значений ;
- подсчитываются значения функции , например, с помощью процедуры метода Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений;
- по найденным значениям строится интерполяционный полином Ньютона (Лагранжа); ранее отмечалось, что для рассматриваемого случая многочлен степени n определяется единственным образом; в силу этого построенный полином как раз и будет характеристическим.
2. Каким-либо из известных методов решения нелинейных уравнений отыскиваются корни построенного полинома , которые представляют собой собственные значения исходной матрицы.
Трехдиагональные матрицы
В практике инженерных расчетов часто встречаются трехдиагональные матрицы, у которых отличны от нуля лишь коэффициенты, расположенные на главной диагонали, а также над и под нею. Пусть такая матрица имеет вид
.
Для определения собственных значений требуется подсчитать определитель матрицы
.
Разложим этот определитель по коэффициентам нижней строки матрицы :
,
где
,
.
Этот минор содержит лишь один ненулевой элемент в последнем столбце. В этом случае возможно представление
.
Таким образом, получено рекуррентное соотношение для вычисления значения определителя трехдиагональной матрицы:
.
Для определенности следует положить . В этом случае, очевидно, имеют место выражения:
,
,
... и так далее.
Поиск собственных векторов
При численных расчетах, как правило, отыскиваются лишь приближенные величины собственных значений . В этом случае
и система уравнений
позволяет отыскать лишь тривиальное решение .
Пусть - произвольный вектор. Рассмотрим систему уравнений
. (5.5)
Пусть - собственные линейно-независимые векторы, соответствующие различным собственным значениям1; эти векторы в можно взять в качестве базиса. Разложим векторы по этому базису:
, .
Подставим эти выражения в систему уравнений (5.5):
,
.
В силу линейной независимости векторов получаем
, .
При условии, что , коэффициент становится большим, , вследствие чего
,
то есть вектор будет близок по направлению к собственному вектору . Повторим решение системы уравнений (5.5) с новой правой частью:
.
Вновь представим решение в виде разложения
и повторим предыдущие рассуждения, что приведет к выражению
.
Очевидно, что поскольку величина значительно преобладает над остальными коэффициентами , новый коэффициент будет еще больше, чем , то есть вектор будет еще ближе по направлению к собственному вектору . Иными словами возможно построение итерационного процесса вида
, (5.6)
причем - произвольный начальный вектор.
Следует отметить, что если собственное значение вычислено достаточно точно, то , что может привести к аварийной остановке вычислительного процесса.
В этом случае для повышения устойчивости расчетов в матрицу вносится некоторая погрешность, например, за счет искажения собственного значения .
Пример 5.4. Определить собственные векторы для матрицы .
При выполнении примера 5.1 получены собственные значения . Для определения собственных векторов, соответствующих первому собственному значению, зададим погрешность : .
Система уравнений (5.6) для первого вектора принимает вид
Это система уравнений имеет следующее решение:
.
Для погрешности =0,001 получаем
,
.
После нормирования компоненты собственного вектора единичной длины
.
Первый собственный вектор, определенный ранее для этой же матрицы,
.
Выполним такую же процедуру для второго собственного значения:
;
;
;
.
Нормированный собственный вектор
.
Второй собственный вектор, определенный в примере 5.1, отличается от найденного лишь направлением: .