- •Часть 1
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Источники и причины погрешностей математической модели
- •Погрешность математической модели
- •Погрешность исходных данных
- •Погрешность численного метода
- •Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах
- •Погрешности округления чисел в эвм
- •Погрешность результатов вычисления арифметических операций
- •“Потеря порядка” и “переполнение” при проведении вычислений на эвм
- •Машинная реализация вычислений
- •Контрольные вопросы и задания
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Прямые методы решения
- •Метод Гаусса
- •Определение числа операций алгоритма метода Гаусса
- •Вычисление определителя матрицы
- •Построение обратной матрицы
- •Метод квадратного корня
- •Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня
- •Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений
- •Итерационные методы решения
- •Метод Якоби1
- •Метод Зейделя1
- •Сходимость итерационных методов
- •Скорость сходимости
- •Полиномы Чебышёва1
- •Итерационный метод с чебышёвским набором параметров
- •Неявный метод с чебышёвским набором параметров
- •Метод минимальных невязок
- •Метод минимальных поправок
- •Метод скорейшего спуска
- •Неявный метод скорейшего спуска
- •Контрольные вопросы и задания
- •3.НелинейныЕ уравнения
- •Методы вычисления корней нелинейного уравнения1 Метод половинного деления2
- •Метод простых итераций
- •Метод Ньютона2
- •Модификации метода Ньютона
- •Системы нелинейных уравнений
- •Метод простых итераций
- •Метод релаксации
- •Метод Ньютона
- •Нелинейный вариант метода Якоби
- •Нелинейный вариант метода Зейделя
- •Контрольные вопросы и задания
- •Интерполяция степенными функциями
- •Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа)
- •Сходимость интерполяционного процесса
- •Интерполяционный многочлен Эрмита1
- •Интерполяция сплайнами
- •Построение кубического сплайна
- •Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами
- •Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы и задания
- •5. Алгебраическая проблема собственных значений
- •Устойчивость собственных значений и векторов
- •Определение собственных значений и векторов Метод интерполяции
- •Трехдиагональные матрицы
- •Поиск собственных векторов
- •Частичная проблема собственных значений
- •Метод линеаризации
- •Степенной метод
- •Метод обратных итераций
- •Контрольные вопросы и задания
- •6.Численное дифференцирование Конечно-разностная аппроксимация
- •Применение интерполяционных формул
- •Контрольные вопросы и задания
- •7.Численное интегрирование
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона1
- •Формула Эйлера1
- •Оценка погрешности методом Рунге2
Контрольные вопросы и задания
Сформулируйте алгебраическую проблему собственных значений. Укажите различие между полной и частичной проблемами.
Что понимается под устойчивостью собственных значений и собственных векторов? Определите понятие коэффициента перекоса.
Метод интерполяции для определения собственных значений.
Приближенное определение собственных векторов.
Схема для вычисления определителя трехдиагональной матрицы.
Метод линеаризации для поиска собственных значений и векторов.
Степенной метод для определения максимального собственного значения.
Метод обратных итераций для определения минимального собственного значения.
6.Численное дифференцирование Конечно-разностная аппроксимация
Пусть на отрезке [a, b] введена сетка с шагом ,
.
В произвольной точке этой сетки приближенное значение производной некоторой функции u(x) можно представить несколькими способами:
;
;
.
u(xi+1)
u(xi)
u(xi-1)
xi-h
xi
xi+h
Рис. 6.1. Схема численного дифференцирования
Вполне очевидно, что эти формулы по-разному, то есть с различной степенью точности, представляют значение производной в рассматриваемой точке.
Для оценки получаемых погрешностей воспользуемся разложениями рассматриваемой функции в ряды Тейлора вблизи заданной точки xi :
,
.
Оценим погрешность представления величиной первой производной, то есть отклонение действительного значения производной от ее приближенного значения:
Полученный результат свидетельствует о том, что погрешность аппроксимации первой производной выражением определяется величиной, пропорциональной шагу h сетки при условии ограниченности второй производной и малости самого шага h. В этом случае говорят, что имеет место первый порядок аппроксимации.
Оценим погрешность аппроксимации величиной первой производной:
Видно, что в этом случае также имеет место первый порядок аппроксимации.
Аналогично поступим для оценки погрешности формулы :
В последнем случае получили уже второй порядок аппроксимации. Это означает, что из трех выражений для аппроксимации производной последний вариант обеспечивает наименьшую погрешность.
Вполне очевидно, что в любом из рассмотренных случаев приближение производной ее разностным аналогом тем точнее, чем меньше шаг h выбранной сетки. Вместе с тем следует иметь в виду, что уменьшение шага h приводит к возрастанию погрешности вычислений.
В самом деле, пусть вместо точных значений и вследствие ошибок округления получены значения и . Аппроксимация производной
вычисляется также с ошибкой . При известных оценках полную погрешность можно также оценить
.
Очевидно, следует потребовать, чтобы погрешность округления не превышала погрешности аппроксимации при записи разностного аналога:
,
где - чебышевская оценка второй производной заданной функции на отрезке [a, b].
Отсюда следует
.