Нелинейный вариант метода Якоби
Для системы нелинейных уравнений вида
итерационный процесс строится так, что
из каждого уравнения системы определяется
значение только одной неизвестной
,
а значения остальных берутся с предыдущего
шага,
.
При этом определение искомой величины на очередной итерации производится с помощью какого-либо известного метода решения одного нелинейного уравнения.
Нелинейный вариант метода Зейделя
В отличие от метода Якоби при определении неизвестной на очередной итерации используются уже найденные предыдущие неизвестные:
.
Пример 3.4. Решить систему нелинейных алгебраических уравнений
Решение этой системы нелинейных уравнений
с погрешностью
имеет вид:
где
- комплексная единица.
Воспользуемся методом Ньютона для отыскания корней уравнений этой системы.
Представим итерационный процесс Ньютона в форме:
;
Теперь на каждом итерационном шаге
необходимо решать полученную систему
линейных алгебраических уравнений
относительно неизвестных
.
В явной форме решение полученной системы имеет вид
Результаты расчетов приведены в табл. 3.4.
Таблица 3.4
Решение методом Ньютона системы нелинейных уравнений из примера 3.4
-
Номер итерации
x(n)
y(n)
1
1
1
2
1
2
3
1,5
1,8
4
1,35
1,791304348
5
1,338446055
1,791287848
6
1,338390022
1,791287848
7
1,338390021
1,791287848
8
1,338390021
1,791287848
Контрольные вопросы и задания
Сформулируйте задачу о нахождении корней нелинейного уравнения.
Опишите метод половинного деления для вычисления корней нелинейного уравнения. Поясните геометрический смысл метода половинного деления.
Опишите метод простых итераций для вычисления корней нелинейного уравнения. Поясните геометрический смысл этого метода.
Сформулируйте критерии остановки итерационного вычислительного процесса при определении корней нелинейного уравнения. Сходимость (расходимость) итерационного решения.
Сформулируйте условия сходимости метода простых итераций для одного нелинейного уравнения.
Опишите метод Ньютона для вычисления корней нелинейного уравнения.
Поясните геометрический смысл метода Ньютона.
Сформулируйте условия сходимости метода Ньютона для нелинейного уравнения.
Приведите возможные модификации метода Ньютона для определения корней нелинейного уравнения.
Применение метода простых итераций для решения системы нелинейных уравнений.
Сформулируйте условия сходимости метода простых итераций для системы нелинейных уравнений.
Поясните порядок применение метода Ньютона для решения системы нелинейных уравнений.
Сформулируйте условия сходимости метода Ньютона для системы нелинейных уравнений.
Опишите решение системы нелинейных уравнений методом Якоби.
Опишите решение системы нелинейных уравнений методом Зейделя.
4. А П П Р О К С И М А Ц И Я Ф У Н К Ц И Й
Пусть функция y(x) известна лишь в узлах
некоторой сетки
,
то есть задана таблично,
.
Требуется подобрать аналитическую
функцию, которая в указанных точках
совпадает с табличными значениями:
. (4.1)
Пусть функция j(x) определяется следующим образом:
, (4.2)
где
-
линейно независимые функции; при наличии
линейно зависимых составляющих, от них
можно избавиться, уменьшая тем самым
число слагаемых в разложении (4.2).
Очевидно, что функция j(x)
определяется набором параметров
,
от которых зависит линейно. В
противном случае говорят о нелинейной
интерполяции.
Учитывая формулу (4.1), получаем
(4.3)
систему линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестных
коэффициентов разложения
.
Для существования единственного решения системы алгебраических уравнений (4.3) требуется, чтобы главный определитель
был отличен от нуля, то есть
.