- •Часть 1
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Источники и причины погрешностей математической модели
- •Погрешность математической модели
- •Погрешность исходных данных
- •Погрешность численного метода
- •Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах
- •Погрешности округления чисел в эвм
- •Погрешность результатов вычисления арифметических операций
- •“Потеря порядка” и “переполнение” при проведении вычислений на эвм
- •Машинная реализация вычислений
- •Контрольные вопросы и задания
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Прямые методы решения
- •Метод Гаусса
- •Определение числа операций алгоритма метода Гаусса
- •Вычисление определителя матрицы
- •Построение обратной матрицы
- •Метод квадратного корня
- •Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня
- •Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений
- •Итерационные методы решения
- •Метод Якоби1
- •Метод Зейделя1
- •Сходимость итерационных методов
- •Скорость сходимости
- •Полиномы Чебышёва1
- •Итерационный метод с чебышёвским набором параметров
- •Неявный метод с чебышёвским набором параметров
- •Метод минимальных невязок
- •Метод минимальных поправок
- •Метод скорейшего спуска
- •Неявный метод скорейшего спуска
- •Контрольные вопросы и задания
- •3.НелинейныЕ уравнения
- •Методы вычисления корней нелинейного уравнения1 Метод половинного деления2
- •Метод простых итераций
- •Метод Ньютона2
- •Модификации метода Ньютона
- •Системы нелинейных уравнений
- •Метод простых итераций
- •Метод релаксации
- •Метод Ньютона
- •Нелинейный вариант метода Якоби
- •Нелинейный вариант метода Зейделя
- •Контрольные вопросы и задания
- •Интерполяция степенными функциями
- •Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа)
- •Сходимость интерполяционного процесса
- •Интерполяционный многочлен Эрмита1
- •Интерполяция сплайнами
- •Построение кубического сплайна
- •Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами
- •Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы и задания
- •5. Алгебраическая проблема собственных значений
- •Устойчивость собственных значений и векторов
- •Определение собственных значений и векторов Метод интерполяции
- •Трехдиагональные матрицы
- •Поиск собственных векторов
- •Частичная проблема собственных значений
- •Метод линеаризации
- •Степенной метод
- •Метод обратных итераций
- •Контрольные вопросы и задания
- •6.Численное дифференцирование Конечно-разностная аппроксимация
- •Применение интерполяционных формул
- •Контрольные вопросы и задания
- •7.Численное интегрирование
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона1
- •Формула Эйлера1
- •Оценка погрешности методом Рунге2
Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами
Покажем, что при неограниченном увеличении числа n узлов на отрезке [a,b] последовательность сплайн-функций сходится к интерполируемой функции.
Для упрощения рассмотрим последовательность сеток с равномерными расположениями узлов:
.
В этом случае система уравнений (4.17) принимает более простой вид
Пусть аппроксимируемая функция f(x) непрерывна вместе со своими производными вплоть до четвертого порядка, то есть , а также имеют место равенства
.
Обозначим:
- чебышевская норма на отрезке [a,b];
- чебышевская норма на сеточной области ;
- разностный аналог второй производной аппроксимируемой функции f(x);
.
Теперь система уравнений (4.17) выглядит следующим образом:
(4.18)
Лемма 4.1. Для всех справедлива оценка .
Доказательство. В силу определения введенной нормы на сеточной области необходимо проверить точки , для которых .
Обозначим погрешность
.
Для k = 0 и k = n, в частности, .
Уравнения (4.18) в новых обозначениях принимают вид
(4.19)
Обозначим
(4.20)
,
причем
- разностный аналог второй производной функции в точке .
Воспользуемся формулами Тейлора:
,
.
Аналогичным образом построим разложение для функции :
,
.
Теперь можно оценить разностные аппроксимации производных:
,
.
Подставим полученные выражения в формулы (4.20):
.
Отсюда получаем
Теперь, согласно формулам (4.19), получаем
,
.
Поскольку эта оценка имеет место во всех точках сеточной области , то она справедлива и в точке, где достигает максимума, то есть
.
Следовательно,
,
,
откуда сразу следует утверждение леммы 4.1.
Теорема 4.3. Для любой функции справедливы оценки:
, (4.21)
, (4.22)
. (4.23)
Доказательство. Рассмотрим произвольный отрезок . Согласно определению сплайна (4.8), а также учитывая формулы (4.11), получаем
.
Несложно проверить справедливость следующего тождества:
(4.24)
Оценим первое слагаемое в правой части (4.24) :
.
Проведем оценку второго слагаемого. Согласно формуле Тейлора
,
.
Отсюда получаем соотношения для разностей
,
.
Теперь можно преобразовать второе слагаемое в правой части формулы (4.24):
.
Произведем оценку:
.
При выводе последнего соотношения учтено, что
.
Теперь можно оценить левую часть тождества (4.24):
. (4.25)
Учитывая, что выражение (4.25) справедливо для любого отрезка, его можно использовать и для оценки погрешности на всем участке :
.
Отсюда получаем
,
то есть утверждение (4.23) теоремы.
Для доказательства соотношения (4.22) введем на отрезке вспомогательную функцию . В силу определения сплайна, . Но тогда, в соответствии с теоремой Ролля1, существует хотя бы одна точка .
В этом случае, используя теорему Лагранжа, можно произвести оценку
,
откуда, с учетом соотношения (4.25), получаем
.
Поскольку это неравенство справедливо на любом отрезке , с его помощью можно получить получить утверждение (4.22) теоремы:
.
Для получения последнего утверждения (4.21) построим на отрезке функцию
.
Из условия обращения этой функции в нуль для произвольно выбранного значения
определим значение константы
.
Очевидно, что теперь
.
Это означает, что существует хотя бы одна точка . Отсюда получаем
,
,
.
Отсюда, с использованием неравенства (4.25), следует оценка отклонения значения сплайн-аппроксимации от значения функции для выбранной точки :
.
Здесь учтено, что
.
Поскольку последнее неравенство справедливо для любого , получим выражение (4.21) теоремы:
,
что и требовалось доказать.