Применение интерполяционных формул
Для получения приближенного значения производной можно воспользоваться рассмотренными ранее способами аппроксимации значения функции. Идея заключается в том, что сложная функция заменяется вблизи заданной точки некоторым полиномом, для которого и определяется значение производной.
В частности, для трех точек
полином Лагранжа имеет вид:
Определим для построенного полинома производные:
,
.
Для выбранной точки
получаем значение первой производной
.
Очевидно, что выражение
от переменной x не зависит.
В частном случае постоянного шага сетки
получаем
,
.
Контрольные вопросы и задания
Укажите принципы построения аппроксимации производных функции.
Определите понятия: погрешность аппроксимации, порядок аппроксимации.
Опишите способ оценки точности аппроксимации производной разностным аналогом.
Как используются интерполяционные полиномы для построения аппроксимаций производных?
Установите зависимость степени интерполяционного полинома от порядка аппроксимируемой производной.
Определите погрешность полученной аппроксимации второй производной.
Запишите самостоятельно выражение для аппроксимации смешанной производной
и оцените ее погрешность.
7.Численное интегрирование
Пусть для функции f(x) требуется вычислить значение определенного интеграла
. (7.1)
Заменим подынтегральную функцию разложением вида
, (7.2)
где 
-
значения заданной функции в узлах
разностной сетки
;
- система линейно-независимых функций.
Подставляя выражение (7.2) в формулу (7.1), получаем
. (7.3)
В этой формуле обозначено
- весовые коэффициенты.
Выражение (7.3) носит название квадратурной
формулы интерполяционного типа;
- квадратурная сумма.
Разобъем весь интервал интегрирования
[a, b] на ряд подынтервалов
,
поскольку на каждом из таких отрезков
проще и удобнее оценивать квадратурные
формулы. Погрешность формул интегрирования
на произвольном отрезке
определяется как разность между точным
значением интеграла и квадратурной
суммой:
.
Пользуясь свойством аддитивности, выражение (7.1) представим в виде
.
Погрешность численного интегрирования на всем интервале [a, b]
. (7.4)
Формула прямоугольников
Рассмотрим простейший случай, когда в
разложении (7.2) удерживается лишь одно
слагаемое, содержащее функцию
.
В этом случае весовой коэффициент
,
и на отрезке интеграл заменяется выражением
. (7.5)
Геометрически это означает замену интеграла на указанном отрезке площадью прямоугольника с основанием h и высотой, равной значению функции в середине основания прямоугольника (рис. 7.1).
xk-1
xk-1/2
xk
x
Рис. 7.1. Схема численного интегрирования методом прямоугольников
Воспользуемся для представления функции
f(x) вблизи точки
формулой Тейлора
.
Определим погрешность вычисления интеграла на отрезке :
.
Полученное выражение позволяет оценить погрешность:
(7.6)
Здесь обозначено:
.
Формула (7.6) устанавливает, что при ограниченности второй производной на рассматриваемом отрезке погрешность формулы прямоугольников имеет третий порядок. Для всего отрезка интегрирования [a, b] получаем
,
(7.7)
где
.
Иными словами, для всего интервала [a, b] погрешность рассмотренного способа интегрирования имеет второй порядок.
Аналогичным способом можно проверить также часто применяемую на практике формулу интегрирования
,
геометрический смысл которой пояснен на рисунке 7.2.
Оценка погрешности интегрирования на отрезке , выполненная аналогично предыдущему случаю, приводит к результату
,
.
xk-1
xk
x
Рис. 7.2. Схема численного интегрирования методом прямоугольников
Для всего интервала [a, b] погрешность интегрирования составляет
.
На рис. 7.3 приведены графики, отражающие
сходимость процесса приближенного
вычисления определенного интеграла
с помощью формул метода прямоугольников
с центральной точкой (формула (7.5)),
“левой” точкой (рис. 7.2) и “правой”
точкой
.
Рис. 7.3. Значения интеграла , вычисленные точно (-------) и по формулам метода прямоугольников с центральной (- -), “левой” (- -) и “правой” (- -) точками на сетках n