Неявный метод с чебышёвским набором параметров

Рассмотрим неявную итерационную схему с положительно определенными матрицами А и В:

. (2.21)

Эта система уравнений для погрешностей принимает вид

.

Указанные свойства матрицы В позволяют представить ее в виде . Тогда предыдущее соотношение можно представить в форме

.

Обозначим . Тогда

,

где - симметричная положительно определенная матрица, причем минимальное (максимальное) собственное значение матрицы является одовременно и минимальным (максимальным) собственным значением для матрицы С.

Теорема 2.7. Пусть А и В - симметричные и положительно определенные матрицы. - наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы . Для заданного числа N итераций неявный чебышёвский метод (2.21) имеет минимальную погрешность при наборе , определенном условиями предыдущей теоремы, где .

Удачным выбором матрицы В можно приблизить значение параметра  к 1, что приведет к понижению погрешности .

Метод минимальных невязок

Погрешность решения системы линейных алгебраических уравнений вида¹ Ax = f определить невозможно, поскольку точное решение x неизвестно. Однако можно оценить невязку

,

определяющую, насколько полученное решение не удовлетворяет исходному уравнению.

Рассмотрим явный итерационный метод:

.

Определим из этого соотношения величину :

.

При использовании итерационной схемы для (n+1) шага следует так подобрать итерационный параметр , чтобы при известном значение невязки стало наименьшим.

Оценим невязку для следующего шага:

.

Определим, как и ранее, квадрат нормы невязки:

.

При выводе последнего выражения учтено, что

,

- в силу симметрии матрицы.

Полученное соотношение между невязками на соседних шагах итерационной процедуры можно рассматривать как функциональную зависимость . Для нахождения значения итерационного параметра, при котором невязка минимальна, воспользуемся теоремой Ферма¹ :

,

.

Оценка невязки получаемого решения:

.

Здесь - наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы А; n - номер итерации.

Метод минимальных поправок

Неявную итерационную схему

можно представить виде

где, как и ранее, . Вектор назовем поправкой. Очевидно, что поправка удовлетворяет уравнению

.

Предполагая, что В - симметричная положительно определенная матрица, определим норму в виде

.

Подсчитаем значение квадрата нормы поправки :

При получении последнего выражения использовались следующие соотношения:

,

,

,

.

Очевидно, что величина будет минимальной при условии

,

.

Для реализации метода минимальных поправок требуется на каждой итерации решать систему уравнений , откуда находится сама поправка . Кроме этого необходимо определить решение системы уравнений , а именно, вычислить , требующееся для нахождения итерационного параметра.

Погрешность метода минимальных поправок оценивается следующим образом (с учетом введенного определения нормы):

.

Как и ранее, - наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы ; n - номер итерации.