- •Часть 1
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Источники и причины погрешностей математической модели
- •Погрешность математической модели
- •Погрешность исходных данных
- •Погрешность численного метода
- •Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах
- •Погрешности округления чисел в эвм
- •Погрешность результатов вычисления арифметических операций
- •“Потеря порядка” и “переполнение” при проведении вычислений на эвм
- •Машинная реализация вычислений
- •Контрольные вопросы и задания
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Прямые методы решения
- •Метод Гаусса
- •Определение числа операций алгоритма метода Гаусса
- •Вычисление определителя матрицы
- •Построение обратной матрицы
- •Метод квадратного корня
- •Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня
- •Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений
- •Итерационные методы решения
- •Метод Якоби1
- •Метод Зейделя1
- •Сходимость итерационных методов
- •Скорость сходимости
- •Полиномы Чебышёва1
- •Итерационный метод с чебышёвским набором параметров
- •Неявный метод с чебышёвским набором параметров
- •Метод минимальных невязок
- •Метод минимальных поправок
- •Метод скорейшего спуска
- •Неявный метод скорейшего спуска
- •Контрольные вопросы и задания
- •3.НелинейныЕ уравнения
- •Методы вычисления корней нелинейного уравнения1 Метод половинного деления2
- •Метод простых итераций
- •Метод Ньютона2
- •Модификации метода Ньютона
- •Системы нелинейных уравнений
- •Метод простых итераций
- •Метод релаксации
- •Метод Ньютона
- •Нелинейный вариант метода Якоби
- •Нелинейный вариант метода Зейделя
- •Контрольные вопросы и задания
- •Интерполяция степенными функциями
- •Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа)
- •Сходимость интерполяционного процесса
- •Интерполяционный многочлен Эрмита1
- •Интерполяция сплайнами
- •Построение кубического сплайна
- •Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами
- •Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы и задания
- •5. Алгебраическая проблема собственных значений
- •Устойчивость собственных значений и векторов
- •Определение собственных значений и векторов Метод интерполяции
- •Трехдиагональные матрицы
- •Поиск собственных векторов
- •Частичная проблема собственных значений
- •Метод линеаризации
- •Степенной метод
- •Метод обратных итераций
- •Контрольные вопросы и задания
- •6.Численное дифференцирование Конечно-разностная аппроксимация
- •Применение интерполяционных формул
- •Контрольные вопросы и задания
- •7.Численное интегрирование
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона1
- •Формула Эйлера1
- •Оценка погрешности методом Рунге2
5. Алгебраическая проблема собственных значений
Пусть А - квадратная матрица размером ; если существуют такие векторы , что
, (5.1)
то называется собственным значением, а X - собственным вектором матрицы A, соответствующим этому собственному значению.
В иной записи,
. (5.2)
Очевидно, что система линейных однородных алгебраических уравнений (5.2) имеет нетривиальное решение лишь в случае
.
Понятно, что характеристический многочлен является полиномом степени n от переменной . Это, в свою очередь, означает, что существует n корней характеристического многочлена, и, следовательно, имеется n собственных значений и соответствующих им собственных векторов для матрицы A.
Пример 5.1. Пусть задана матрица
.
Требуется определить собственные значения и векторы этой матрицы.
Характеристический многочлен:
.
Собственные значения:
.
Определим первый собственный вектор, соответствующий ,
Здесь обозначено: - компоненты вектора .
Очевидно, что последняя система содержит линейно зависимые уравнения (как это и следовало ожидать при ). Используя любое из уравнений этой системы, получим .
Примем для однозначности определения собственных векторов условие нормирования , то есть
,
, .
Теперь найдем второй собственный вектор, соответствующий ,
Отсюда получаем связь компонент второго собственного вектора: .
Из условия нормирования следует:
,
, .
Устойчивость собственных значений и векторов
Рассмотрим две матрицы, A и . Собственные числа обеих матриц, в чем нетрудно убедиться, одинаковы. Собственные векторы матриц обозначим соответственно :
.
Для скалярных произведений и вычислим разность
.
Поскольку
, (5.3)
получаем:
.
Отсюда следует, что для различных собственных значений, , собственные векторы матриц A и взаимно ортогональны.
Представим выражение (5.1) в малых приращениях:
.
Это выражение скалярно умножим на :
. (5.4)
Для оценки устойчивости собственных значений в формуле (5.4) положим i = j :
.
Поскольку
,
получаем
,
.
Отсюда следует оценка
.
Величина
называется коэффициентом перекоса; - угол между векторами .
Далее будем предполагать, что матрица A симметрична1, то есть , и все ее собственные числа различны. В этом случае собственные векторы матрицы А образуют в полную ортонормированную систему, которую можно использовать в качестве базиса. Очевидно, что для симметричных матриц . А значит, имеет место устойчивость собственных значений:
.
Для оценки устойчивости собственных векторов теперь рассмотрим случай . В силу формулы (5.3) следует
.
Используя это выражение и условие ортогональности векторов
,
из соотношения (5.4) получаем
,
.
Разложим вектор по базису :
.
Вычислим скалярное произведение
,
которое позволяет получить выражение для коэффициентов разложения :
.
В случае i = p за счет произвола в выборе длины собственных векторов можно положить . Теперь разложение вектора по базису имеет вид
.
Оценим приращение вектора :
,
.
Отсюда очевидно, что неустойчивость собственных векторов имеет место в случае, когда велики коэффициенты перекоса , либо близки собственные значения .
Пример 5.2. Рассмотрим матрицу A, указанную в примере 5.1. Нетрудно убедиться, что для транспонированной матрицы собственные числа остаются теми же, , а соответствующие собственные векторы определяются следующим образом:
,
.
Перемножим скалярно собственные векторы обеих матриц:
,
,
то есть имеет место ортогональность собственных векторов матриц A и ;
,
.
Подсчитаем коэффициенты перекоса:
,
.
Пример 5.3. Оценить влияние погрешности на результаты вычисления собственных значений матрицы
,
где - малое возмущение (погрешность).
Решение характеристического уравнения
.
дает корни (собственные значения):
,
,
,
.
В табл. 5.1 приведены собственные значения исходной матрицы при различных величинах .
Таблица 5.1
Определение собственных значений матрицы при заданных величинах погрешности
-
Собственные значения
= 0
= 0,1
= 0,01
= 0,001
1
1,0
0,983817673
0,9983384
0,999833384
2
2,0
2,051456633
2,005012689
2,000500125
3
3,0
2,948543367
2,994987311
2,999499875
4
4,0
4,016182327
4,0016616
4,000166616