Метод обратных итераций
Для нахождения наименьшего (по модулю)
собственного значения матрицы А можно
воспользоваться тем, что матрица
имеет собственные значения, обратные
собственным значениям исходной матрицы.
Понятно, что в этом случае итерационный процесс
(5.11)
приводит к определению модуля наибольшего
собственного числа
матрицы
.
Соответственно,
является наименьшим собственным числом
матрицы A.
Пример 5.6. Определить наибольшее и наименьшее собственные значения матрицы
.
Рассмотрим итерационный процесс
.
Для заданной матрицы получаем систему
В качестве первого приближения выберем
вектор
.
Результаты расчетов сведены в табл.
5.3.
Таблица 5.3
Вычисление наибольшего собственного значения
-
Номер итерации
0
1
1
1,414213562
1
3
9
9,486832981
6,708203932
2
21
51
55,15432893
5,813776742
3
123
309
332,5808173
6,030003876
4
741
1851
1993,810924
5,994966698
5
4443
11109
11964,53635
6,000837995
6
26661
66651
71785,54675
5,999860309
После нормирования получаем вектор
.
Ранее, при выполнении примера 5.1, найдены точные значения для собственного вектора
и собственного значения .
Для нахождения наименьшего собственного значения используем матрицу
.
Согласно выражению (5.11) построим итерационную процедуру
В качестве первого приближения вновь выберем вектор . Результаты расчетов сведены в таблицу 5.4.
Таблица 5.4
Вычисление наибольшего собственного значения
-
Номер итерации
0
1
1
1,414213562
1
-0,333333333
0,666666667
0,745355993
0,527046277
2
0,444444444
-0,388888889
0,590563656
0,792324287
3
-0,425925926
0,435185185
0,608932705
1,031104266
4
0,429012346
-0,427469136
0,605624847
0,994567777
5
-0,428497942
0,428755144
0,606169498
1,000899321
6
0,428583676
-0,428540809
0,606078537
0,999849941
7
-0,428569387
0,428576532
0,606093692
1,000025005
8
0,428571769
-0,428570578
0,606091166
1,000020837
9
-0,428571372
0,428571570
0,606091587
1,000000695
После нормирования получаем вектор
.
Значения для собственного вектора
и собственного значения
также определены ранее.