10.5.2. Метод оптимизации главного критерия при ограничении остальных

Рассматриваемый способ состоит в том, чтобы ранжировать критерии, а затем отыскивать решение, наилучшее с точки зрения самого главного критерия.

На остальные критерии в этом случае обычно накладываются какие-то дополнительные условия, ограничивающие сверху и/или снизу диапазон разрешённых значений этих критериев.

Такая постановка характерна для математических задач оптимизации (задач математического программирования). При этом оптимизируется только один показатель. Распространённым примером безграмотной постановки задачи является требование, подобное следующему: "достижение максимального эффекта при минимальных затратах".

Здесь хотят оптимизировать сразу два критерия и достичь, таким образом, идеала, а это, как правило, невозможно. Вполне корректными являются другие формулировки: "достижение заданного эффекта при минимальных затратах" или "достижение максимального эффекта при затратах, не превышающих заданную величину".

Последний случай постановки задачи представлен на рис. 5.20а.

Здесь разрешённый диапазон затрат находится в нижней части 2-й оси.

Последовательность (траектория) поиска оптимального решения показана пунктирной стрелкой

10.5.3. Метод последовательных уступок

В данном случае тоже проводится ранжирование критериев, но никаких ограничений на значения этих критериев заранее не накладывается. Поиск оптимального решения осуществляется следующим образом.

Вначале отыскивается решение, безусловно оптимальное с точки зрения главного критерия (на рис. 5.206 этому решению соответствует точка А1).

При этом оптимальное значение главного критерия при этом имеет величину W1*.

Затем, исходя из практических соображений и точности, с какой известны исходные данные, - назначается некая "уступка" AW1.

Эту уступку можно допустить для того, чтобы улучшить значение второго критерия. Налагая на критерий W1 ограничение, чтобы его значение было не меньше величины (Wl* - AW1), отыскивают вариант решения, оптимизирующий критерий W2 (на рис.5.20б траектория поиска оптимального решения показана пунктирной стрелкой).

Если существуют ещё какие-то критерии (W3, W4 и пр.), то указанный процесс продолжается далее аналогичным образом: делается уступка AW2 и на эту величину ухудшается оптимальное значение второго критерия W2*, найденное на предыдущем шаге, а затем отыскивается оптимальное значение для третьего критерия, потом - для четвертого (тем же самым способом) и т.д.

Описанный способ построения компромиссного решения хорош тем, что здесь сразу видно, ценой какой "уступки" в одном критерии приобретается выигрыш в другом. Точки А1 и А2 в этом случае считаются равноценными (эквивалентными) по совокупности критериев.

Если отношение между эквивалентными точками постоянно и может быть описано в математической форме, то эту форму естественно взять в качестве обобщённого критерия принятия решения.

Использование обобщённого критерия.

В случае применения обобщённого критерия простейшей является линейная форма свёртки исходных критериев:

W = а • W1 - р • W2.

Здесь аир - весовые коэффициенты, характеризующие важность частных критериев W1 и W2 при их включении в выражение обобщённого критерия.

Знаки при коэффициентах подбираются таким образом, чтобы изменение обобщённого критерия имело бы одинаковую направленность, например, увеличивалось бы при улучшении значения каждого частного критерия.

Те решения, для которых равны значения обобщённого критерия, считаются эквивалентными.

Совокупность точек, имеющих одинаковое значение обобщённого критерия, называется линией равного уровня эффективности. При линейной форме свёртки линией равного уровня является прямая:

а • W1 - р • W2 = С,

где С - какое-то конкретное значение обобщённого критерия.

Оптимальным считается такое решение, которое дает наилучшее значение обобщенного критерия.

Если в пространстве исходных критериев заданы область допустимых решений и выражение обобщённого критерия, например: 2•W1 - 3•W2, то решение можно найти следующим образом.

В случае, если множество допустимых решений конечно, можно для всех эффективных точек вычислить значения обобщённого критерия. Это выполняется путем подстановки в выражение обобщенного критерия координат каждой исследуемой точки. Затем выбрать наилучшее значение из множества полученных величин.