10.5. Многокритериальные задачи принятия решений

10.5.1. Постановка задачи и схема её выполнения.

На практике часто встречаются случаи, когда исследуемый объект, характеризующий последствия принятия решений целесообразно оценивать с нескольких разных точек зрения (описывать несколькими параметрами - "векторным критерием").

Например, важными показателями качества информационного обслуживания являются:-

полнота и точность информирования потребителей;

оперативность и стоимость их обслуживания.

Все эти параметры могут быть выбраны в качестве критериев принятия решений при проектировании информационной системы. Нередко встречаются ситуации, когда для оценки последствий принятия решений нужно исследовать не один, а несколько объектов, каждый из которых характеризуется своими параметрами (одним или несколькими).

То состояние объекта исследования, при котором каждый критерий имеет для определенного субъекта наилучшее (оптимальное) значение из допустимого множества значений данного критерия, будем называть идеальным состоянием объекта (или идеалом) для указанного субъекта. В реальной действительности весьма типичной является ситуация, когда допустимое множество состояний исследуемого объекта не включает в себя идеального варианта.

Возникает вопрос: Если нельзя достичь идеального состояния, то какое тогда принимать решение? Что считать наилучшим или хотя бы "хорошим" решением и как его найти?

В этом случае поступают следующим образом. Сначала внутри допустимого многообразия вариантов выделяется множество так называемых "эффективных" решений. Затем из этого множества выбирается решение, которое принимается в качестве "оптимального". Рассмотрим фазы такого поиска решения.

Первая фаза: Определение эффективных решений

Первый шаг состоит в том, чтобы исключить из множества допустимых вариантов те решения, которые хуже других по всем критериям сразу; такие заведомо плохие варианты будем называть неэффективными решениями.

Эффективным будем называть всякое решение, которое лучше любого другого варианта из области допустимых решений хотя бы по одному из критериев.

Рассмотрим случай, когда учитываются только два критерия, хотя метод применим при любом количестве критериев.

Допустим, что значение первого критерия желательно увеличивать (например, некий показатель положительного "эффекта"), а значение второго критерия - уменьшать (например, величину "затрат").

Область допустимых решений известна и представляет собой какое-то множество точек (конечное или бесконечное), заданное в двумерном пространстве критериев. Абстрактный пример такой постановки задачи можно показать на следующем рисунке.

Область допустимых решений здесь ограничена замкнутой линией. Требуется выделить эффективные решения среди множества допустимых вариантов.

Нагляднее всего это можно сделать графическим способом, поступая следующим образом. Вначале надо для каждого критерия задать направление ухудшения его качества - указать, какие точки пространства являются худшими вариантами по данному критерию, чем некая произвольно взятая точка.

Например, по сравнению с точкой А1 худшими вариантами решений будут те точки, которые располагаются на штрихпунктирных стрелках, выходящих из точки А1, параллельных осям критериев и направленных в сторону ухудшения значений соответствующего критерия.

Совокупность стрелок ухудшения качества, выходящих из одной точки и параллельных осям критериев, образует N-мерный угол («квадрант ухудшения качества"). Это область, все точки которой уступают вершинной точке угла хотя бы по одному из критериев (N - общее число критериев, используемых при принятии решений).

Например, точка А2 хуже, чем точка А1 по обоим критериям. Все точки, одновременно принадлежащие квадранту и области допустимых решений, являются неэффективными решениями, поскольку они уступают вершинной точке квадранта по одному, нескольким или всем критериям.

"Статус" самой вершинной точки остаётся неизвестным: она может представлять как эффективное, так и неэффективное решение.

Возьмем в области допустимых решений вторую произвольную точку, например, точку A3. Таким же образом построим для неё квадрант ухудшения качества, исключают с его помощью другое подмножество точек из числа "претендентов" на эффективные решения.

При этом может быть исключена и та точка, которая была вершиной квадранта в предыдущей позиции.

После этого квадрант переносится в третью точку, затем - в четвертую и так далее, помогая отбрасывать неэффективные решения.

Перемещая квадрант по всей области допустимых решений и не выходя за пределы этой области, можно исключить из нее все неэффективные решения. Неисключёнными останутся только некоторые граничные точки области допустимых решений.

В самом деле, нетрудно видеть, что для любой внутренней точки области всегда можно найти такое положение квадранта, что эта точка окажется внутри него и, следовательно, будет неэффективной.

При этом некоторые граничные точки области допустимых решений тоже окажутся неэффективными при соответствующем выборе положения квадранта.

С другой стороны, всегда найдется хотя бы одна граничная точка, для которой в допустимой области нельзя указать такое положение квадранта, что эта точка оказалась бы внутри него, а не в вершине.

Таким образом, эффективные решения всегда существуют и всегда являются какими-то граничными точками области допустимых решений.

Отсюда следует простой и наглядный графический (геометрический) способ определения эффективных решений: сначала строится квадрант ухудшения качества. Затем он перемещается в пространстве критериев таким образом, что его вершина "скользит" по границе области допустимых решений. При этом всё, что "накрывается" квадрантом (но не его вершиной), исключается из дальнейшего рассмотрения. Нестёртая часть допустимой области образует множество эффективных решений.

Из определения эффективных решений следует два их свойства:

- каждое эффективное решение лучше любого другого решения хотя бы по одному критерию;

- каждое эффективное решение всегда в чём-то уступает любому другому эффективному решению.

В противном случае эти "другие" варианты просто не попали бы в множество эффективных решений.

Выделив эффективные решения из допустимого множества вариантов, можно ещё не придти к однозначному решению. Однако в конце концов приходится выбирать, как правило, только один-единственный вариант решения. Конечно, хотелось бы, чтобы этот вариант был оптимальным - был бы лучше других в каком-то смысле. Но - в каком именно смысле? Какую эффективную точку следует выбирать в качестве оптимального решения, если каждая из них хоть в чём-то уступает другим точкам?

Вторая фаза: Определение оптимального решения (свёртка критериев) и его выбор

В многокритериальных задачах принятия решений все известные способы определения оптимального решения сводятся, прежде всего, к тому, чтобы от нескольких параметров, учитываемых при принятии решения перейти к только одному самому важному или обобщённому критерию.

Для того, чтобы сделать это, надо использовать дополнительную информацию о взаимоотношениях между критериями.

Процедуры перехода к одному критерию, учитывающие отношения между критериями, называются методами свёртки критериев. Рассмотрим наиболее распространённые методы свёртки и соответствующие им способы оптимального решения.