6.2. Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М(С) = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) = СМ(Х).

4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY) = M(X)M(Y).

Следствие.

M(XYZ) = M(XY ∙ Z) = M(XY)M(Z) = N(X)M(Y)M(Z).

5. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M(X + Y) = M(X) + M(Y).

Следствие.

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в nнезависимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: М(Х) = np.

Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р = 0,6. Вычислить М(Х) общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому: М(Х) = np = 10 ∙ 0,6 = 6.

§ 7. Дисперсия дискретной случайной величины

7.1. Отклонение случайной величины

Определение. Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием:

Х – М(Х).

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

M[X – M(X)] = 0.

Пример. Задан закон распределения дискретной случайной величины:

Х	1	2
р	0,2	0,8

Убедиться, что M[X – M(X)] = 0.

Решение. М(Х) = 1 ∙ 0,2 + 2 ∙ 0,8 = 1,8. Вычислим отклонения:

1 – 1,8 = -0,8;

2 – 1,8 = 0,2.

Запишем закон распределения отклонения:

Х – М(Х)	-0,8	0,2
р	0,2	0,8

7.2. Дисперсия дискретной случайной величины

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Для этого вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называется дисперсией.

Определение. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величин от ее математического ожидания:

.

Пример. Вычислить дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Х	1	2	5
р	0,3	0,5	0,2

Решение. 1. М(Х) = 1 ∙ 0,3 + 2 ∙ 0,5 +5 ∙ 0,2 = 2,3

2. [X₁ – M(X)]² = (1 – 2,3)² = 1,69;

[X₂ – M(X)]² = (2 – 2,3)² = 0,09;

[X₃ – M(X)]² = (5 – 2,3)² = 7,29.

3. Записываем закон распределения:

[X – M(X)]2	1,69	0,09	7,29
р	0,3	0,5	0,2

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания: