3.4. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

Определение. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Р_А(В) = Р(В).

Для независимых событий теорема умножения имеет вид:

Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В).

Определение. Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае называют зависимыми.

Определение. Несколько событий называют независимыми в совокупности, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Пример. А₁, А₂, А₃ – независимые события, то независимы следующие события: А₁ и А₂; А₁ и А₃; А₂ и А₃; А₁ и А₂А₃; А₂ и А₁А₃; А₃ и А₁А₂.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А₁А₂ … А_n) = Р(А₁) Р(А₂) … Р(А_n).

Пример. Установить вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Решение. Вероятность появления герба первой монеты (событие А):

вероятность появления герба второй монеты (событие В): События А и В независимые, поэтому:

3.5. Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂, … А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р(А) = 1 – q₁q₂ … q_n.

Частный случай. Если события А₁, А₂, … А_n – имеют одинаковую вероятность, равную Р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий: Р(А) = 1 – qⁿ.

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р₁ = 0,8; р₂ = 0,7; р₃ = 0,9. Установить вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. События:

тогда: q₁ = 1 – p₁ = 0,2;

q₂ = 1 – p₂ = 0,3;

q₃ = 1 – p₃ = 0,1.

P(A) = 1 – q₁q₂q₃ = 1 – 0,2 ∙ 0,3 ∙ 0,1 = 0,994.

3.6. Теорема сложения вероятностей

Определение. Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример. А – появление четырех очков при бросании игральной кости; В – появление четного числа очков. События А и В – совместные.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Примечание. 1. Для независимых событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р(В).

Для зависимых событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р_А(В);

2. Если события А и В несовместны, то Р(АВ) = 0 и тогда:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р₁ = 0,7; р₂ = 0,8. Установить вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение.

I способ: Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) = 0,7 ∙ 0,8 = 0,56 (события А и В - независимые)

Р(АВ) – оба орудия дали попадание.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ);

Р(А + В) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

II способ: вероятности промахов:

q₁ = 1 – P(A) = 1 – 0,7 = 0,3

q₂ = 1 – P(B) = 1 – 0,8 = 0,2

P(A + B) = 1 – q₁q₂ = 1 – 0,3 ∙ 0,2 = 0,94.