2.6. Полная группа событий

Теорема. Сумма вероятностей событий А₁, А₂, …, А_n образующих полную группу, равна единице Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р(А_n) = 1.

Пример. Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В – 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Решение. Событие «пакет получен из города А», «пакет получен из города В», «пакет получен из города С» образуют полную группу, поэтому Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1; 0,7 + 0,2 + Р = 1; Р = 0,1.

2.7. Противоположные события

Определение. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать .

Пример. Попадание и промах при выстреле по цели - противоположные события. Если А – попадание, то - промах.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Примечание. 1) Если вероятность одного из двух противоположных событий равна Р, то вероятность другого обозначают через q, и p + q = 1.

2) При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность события , а затем

§ 3. Теорема умножения вероятностей

3.1. Произведение событий

Определение. Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Пример. А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена.

Определение. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

3.2. Условная вероятность

Определение. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной, если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.

Определение. Условной вероятностью Р_А(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило

Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Установить вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых, поэтому Этот же результат получим, использовав формулу.

Вероятность появления белого шара при первом испытании: Общее число исходов совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета:

Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3 ∙ 3 = 9 исходов, следовательно:

3.3. Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ) = Р(А) ∙ Р_А(В).

Примечание. Р(ВА) = Р(В) ∙ Р_В(А), но Р(АВ) = Р(ВА),

поэтому Р(А) ∙ Р_А(В) = Р(В) ∙ Р_В(А).

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Пример. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Установить вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический.

Решение. - первый валик конусный.

- второй валик эллиптический, при условии, что первый валик конусный. Тогда