2.3. Классическое определение вероятности

Каждый из возможных результатов испытания назовем элементарным исходом (элементарным событием):

w₁, w₂, w₃, …

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию.

Определение. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А;

n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойства вероятности

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Поскольку m = n, то

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Поскольку m = 0, то

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Так как

2.4. Примеры непосредственного вычисления вероятностей

1) Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Обозначим событие В – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из 10 цифр по 2: Таким образом, общее число возможных элементарных исходов 90. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию В лишь один исход, т.е.

2) Указать ошибку «решения» задачи: «Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А)».

Решение. Возможно два исхода: сумма выпавших очков равна 4 и сумма выпавших очков не равна 4. Событию А благоприятствует 1 исход, а общее число исходов – 2, тогда .

Ошибка состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными.

Правильное решение. Поскольку каждое число выпавших очков на одной кости может сочетаться со всеми числами очков на другой кости, то 6 ∙ 6 = 36 – общее число равновозможных исходов. Среди этих исходов благоприятствует событию А только три: (1,3); (3,1); (2,2). Следовательно,

2.5. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Определение. Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Пример. Из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А + В – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

Определение. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких, попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А₁ + А₂ + … + А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р(А_n).

Пример. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

- появление красного шара;

- появление синего шара;