VII. Нормально распределенная случайная величина

1. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 3, среднее квадратическое отклонение равно 2. Написать плотность вероятности X.

2. Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X, зная, что М (Х) = 3, D (X) = 16.

3. Известно, что случайная величина X подчинена нормальному закону распределения, М (Х) = 6, σ² = 9 Найти функцию плотности вероятности.

4. Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью . Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

5. Известно, что случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения с функцией плотности вероятности . Найти М (Х) и D (X)

6. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание равно 5 см. а дисперсия равна 0,81. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) от 4 до 7 см; б) отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.

7. При измерении детали ее длина X является случайной величиной, распределенной по нормальному закону, с параметрами а = 22 см и σ = 0,2 см. Найдите интервал, в который с вероятностью 0,9544 попадает X.

8. Случайные ошибки измерения диаметра вала при его массовом изготовлении подчинены нормальному закону с параметрами а = 0 и σ = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

9. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально с параметрами а = 0 и σ = 0,4 мм, найти, сколько будет годных шариков среди ста стандартных.

10. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону с параметрами а = 0 и σ = 20 мм. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.

11. Масса вагона - случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратическим отклонение σ = 0,9 т. Найти вероятность того, что очередной вагон имеет массу не более 70 т, но не менее 60 т.

12. Масса яблока, средняя величина которого равна 150 г, является нормальной распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 130 до 180 г.

§ 12. Задания для индивидуальной работы.

I. В задачах № 1-30 определить значение выражения:

1.	16.
2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.	20.
6.	21.
7.	22.
8.	23.
9.	24.
10.	25.
11.	26.
12.	27.
13.	28.
14.	29.
15.	30.

II. В задачах 1-30 использовать формулу Бернулли для определения вероятностей появления события при повторении испытаний.

1. Монету бросают пять раз. Установить вероятность того, что «герб» выпадает менее двух раз.

2. Монету бросают пять раз. Установить вероятность того, что «герб» выпадает не менее двух раз.

3. Установить вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.

4. События В появится в случае, если событие А появится не менее четырех раз. Установить вероятность наступления события В, если будет произведено пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

5. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Установить вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут три.

6. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Установить вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех.

7. В семье пять детей. Установить вероятность того, что среди этих детей два мальчика. (Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51).

8. В семье пять детей. Установить вероятность того, что среди этих детей не более двух мальчиков. (Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51).

9. В семье пять детей. Установить вероятность того, что среди этих детей более двух мальчиков. (Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51).

10. В семье пять детей. Установить вероятность того, что среди этих детей не менее двух и не более трех мальчиков. (Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51).

11. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Установить вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не более двух

12. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент включено 4 мотора.

13. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент включено все моторы.

14. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент выключены все моторы.

15. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент включено менее двух моторов.

16. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент включено более четырех моторов.

17. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент включено не менее 5 моторов.

18. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Установить вероятность того, что в данный момент включено не более 3 моторов.

19. Установить вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления А равна 0,3.

20. События В появится в случае, если событие А появится не менее двух раз. Установить вероятность того, что наступит событие В, если произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

III. В задачах 1-30 определить вероятность появления события при повторении испытаний.

1. Семена содержат 0,1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

2. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Установить вероятность того, что в течении 1 минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

3. Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Установить вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей окажется 3 бракованных.

4. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение 1 минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Какое из двух событий вероятнее: в течении 1 минуты позвонят 3 абонента; позвонят 4 абонента?

5. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Установить вероятность того, что в пути будет повреждено ровно 3 изделия.

6. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении часа равна 0,002. Установить вероятность того, что за час откажут 4 элемента.

7. Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000 опечаток. Установить вероятность того, что наудачу взятая страница содержит хотя бы одну опечатку.

8. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Установить вероятность того, что в пути будет повреждено менее 3 изделий.

9. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Установить вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.

10. Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000 опечаток. Установить вероятность того, что наудачу взятая страница содержит 2 опечатки.

11. Книга, изданная тиражом в 50000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки равна 0,0001. Установить вероятность того, что тираж содержит 5 неправильно сброшюрованных книг.

12. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Установить вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок ровно две.

13. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Установить вероятность того, что в пути будет повреждено изделий более трех.

14. Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000 опечаток. Установить вероятность того, что наудачу взятая страница содержит не менее двух опечаток.

15. Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,004. Установить вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется не менее 3 бактерий.

16. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Установить вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок менее двух.

17. Семена содержат 0,1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить менее трех сорняков?

18. Семена содержат 0,1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить более четырех семян сорняков?

19. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Установить вероятность того, что в течении 1 минуты обрыв произойдет хотя бы на одном веретене.

20. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Установить вероятность того, что в течении 1 минуты обрыв произойдет менее 3 веретен.

21. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Установить вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок более двух.

22. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Установить вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок хотя бы одну.

23. Книга, изданная тиражом в 50000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки равна 0,0001. Установить вероятность того, что тираж содержит менее двух неправильно сброшюрованных книг.

24. Книга, изданная тиражом в 50000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки равна 0,0001. Установить вероятность того, что тираж содержит хотя бы одну неправильно сброшюрованную книгу.

25. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Установить вероятность того, что за час откажет хотя бы один элемент.

26. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Установить вероятность того, что за час откажут менее трех элементов.

27. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Установить вероятность того, что за час откажут более двух элементов.

28. Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,004. Установить вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется пять бактерий.

29. Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,004. Установить вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется более двух бактерий.

30. Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Установить вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей хотя бы одна окажется бракованной.

IV. В задачах 1 - 30 дано, что на тракторном заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна p. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.

1. n = 400; p = 0,8; m = 330;

2. n = 400; p = 0,9; m = 372;

3. n = 400; p = 0,85; m = 340;

4. n = 400; p = 0,75; m = 340;

5. n = 400; p = 0,8; m = 350;

6. n = 300; p = 0,75; m = 240;

7. n = 300; p = 0,7; m = 250;

8. n = 300; p = 0,85; m = 272;

9. n = 300; p = 0,8; m = 260;

10. n = 300; p = 0,75; m = 255;

11. n = 600; p = 0,6; m = 375;

12. n = 600; p = 0,65; m = 400;

13. n = 600; p = 0,7; m = 425;

14. n = 600; p = 0,75; m =500;

15. n = 600; p = 0,7; m = 445;

16. n = 625; p = 0,64; m = 370;

17. n = 625; p = 0,8; m = 510;

18. n = 625; p = 0,7; m = 470;

19. n = 625; p = 0,75; m = 380;

20. n = 625; p = 0,8; m = 490;

21. n = 192; p = 0,75; m = 150;

22. n = 225; p = 0,8; m = 165;

23. n = 100; p = 0,9; m = 96;

24. n = 150; p = 0,6; m = 75;

25. n = 500; p = 0,65; m = 250;

26. n = 450; p = 0,7; m = 300;

27. n = 500; p = 0,75; m =350;

28. n = 300; p = 0,8; m = 240;

29. n = 100; p = 0,85; m = 85;

30. n = 450; p = 0,9; m = 350.

V. В задачах 1 - 30 дана вероятность p появления события А в каждом из n независимых испытаний. Пользуясь интегральной теоремой Лапласа, определить вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее m₁ и не более m₂ раза.

1. n = 150; p = 0,6; m₁ = 78; m₂ = 96;

2. n = 100; p = 0,8; m₁ = 72; m₂ = 84;

3. n = 400; p = 0,9; m₁ = 345; m₂ = 372;

4. n = 600; p = 0,4; m₁ = 210; m₂ = 252;

5. n = 300; p = 0,75; m₁ = 210; m₂ = 225;

6. n = 625; p = 0,36; m₁ = 225; m₂ = 255;

7. n = 400; p = 0,5; m₁ = 190; m₂ = 215;

8. n = 225; p = 0,2; m₁ = 45; m₂ = 60;

9. n = 300; p = 0,25; m₁ = 75; m₂ = 90;

10. n = 625; p = 0,64; m₁ = 400; m₂ = 430;

11. n = 100; p = 0,2; m₁ = 80; m₂ = 92;

12. n = 150; p = 0,4; m₁ = 120; m₂ = 138;

13. n = 400; p = 0,8; m₁ = 225; m₂ = 255;

14. n = 600; p = 0,6; m₁ = 250; m₂ = 292;

15. n = 300; p = 0,25; m₁ = 210; m₂ = 225;

16. n = 625; p = 0,6; m₁ = 500; m₂ = 550;

17. n = 100; p = 0,5; m₁ = 55; m₂ = 70;

18. n = 225; p = 0,8; m₁ = 50; m₂ = 65;

19. n = 300; p = 0,7; m₁ = 210; m₂ = 260;

20. n = 300; p = 0,3; m₁ = 245; m₂ = 295;

21. n = 400; p = 0,7; m₁ = 350; m₂ = 377;

22. n = 150; p = 0,5; m₁ = 75; m₂ = 100;

23. n = 200; p = 0,4; m₁ = 100; m₂ = 130;

24. n = 300; p = 0,6; m₁ = 155; m₂ = 175;

25. n = 600; p = 0,9; m₁ = 520; m₂ = 550;

26. n = 600; p = 0,8; m₁ = 430; m₂ = 480;

27. n = 225; p = 0,25; m₁ = 130; m₂ = 150;

28. n = 225; p = 0,45; m₁ = 150; m₂ = 175;

29. n = 100; p = 0,7; m₁ = 70; m₂ = 82;

30. n = 100; p = 0,4; m₁ = 64; m₂ = 79.

VI. В задачах 1 – 30 задан закон распределения случайной величины x. Установить: M (x); D (x); δ (x).

1.	x	23	25	28	29		15.	x	25	28	30	33
	p	0,3	0,2	0,4	0,1			p	0,2	0,1	0,5	0,2
2.	x	17	21	25	27		16.	x	56	58	60	64
	p	0,2	0,4	0,3	0,1			p	0,2	0,3	0,4	0,1
3.	x	24	26	28	30		17.	x	31	34	37	40
	p	0,2	0,2	0,5	0,1			p	0,3	0,5	0,1	0,1
4.	x	12	16	19	21		18.	x	17	20	23	27
	p	0,1	0,5	0,3	0,1			p	0,1	0,4	0,3	0,2
5.	x	25	27	30	32		19.	x	28	32	34	36
	p	0,2	0,4	0,3	0,1			p	0,1	0,2	0,2	0,5
6.	x	30	32	35	40		20.	x	35	39	42	46
	p	0,1	0,5	0,2	0,2			p	0,1	0,3	0,2	0,4
7.	x	12	14	16	20		21.	x	13	15	17	20
	p	0,1	0,2	0,5	0,2			p	0,2	0,2	0,2	0,4
8.	x	21	25	28	31		22.	x	50	52	54	59
	p	0,1	0,4	0,2	0,3			p	0,4	0,3	0,1	0,2
9.	x	60	64	67	70		23.	x	60	61	63	65
	p	0,1	0,3	0,4	0,2			p	0,1	0,4	0,1	0,4
10.	x	45	47	50	52		24.	x	11	13	15	16
	p	0,2	0,4	0,3	0,1			p	0,1	0,5	0,3	0,1
11.	x	46	49	51	55		25.	x	44	46	47	49
	p	0,2	0,3	0,1	0,4			p	0,5	0,2	0,1	0,2
12.	x	18	22	23	26		26.	x	26	27	29	31
	p	0,2	0,3	0,4	0,1			p	0,1	0,2	0,3	0,4
13.	x	78	80	84	85		27.	x	10	12	13	15
	p	0,2	0,3	0,1	0,4			p	0,2	0,2	0,2	0,2
14.	x	37	41	43	45		28.	x	73	75	77	80
	p	0,2	0,1	0,5	0,2			p	0,4	0,4	0,1	0,1
15.	x	25	28	30	33		29.	x	25	27	29	31
	p	0,1	0,2	0,4	0,3			p	0,1	0,5	0,1	0,3
							30.	x	52	54	55	57
								p	0,2	0,4	0,3	0,1

VII. 1. Случайная величина x задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (0; 1).

2. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:

Определить функцию распределение F(x).

3. Случайная величина x задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (2; 3).

4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:

Определить функцию распределение F(x).

5. Случайная величина x задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (0; ).

6. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:

Определить функцию распределение F(x).

7. Случайная величина x задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале ( ; 1).

8. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:

Определить функцию распределение F(x).

9. Случайная величина x задана функцией распределения на всей оси Ох

Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (0; 1).

10. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины x:

Определить функцию распределение F(x).

11. Случайная величина x задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания x примет значение, заключенное в интервале (1,6; 1,75).

12. Случайная величина задана плотностью распределения

Определить коэффициент а.

13. Дискретная случайная величина х задана таблицей распределения.

x	2	6	10
р	0,5	0,4	0,1

Определить функцию распределение F(x).

14. Задана плотность вероятности случайной величины x:

Определить, что в результате испытания х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

15. Дискретная случайная величина х задана законом распределения.

x	1	3	5
р	0,2	0,4	0,4

Определить функцию распределение F(x).

16. Плотность распределения непрерывной случайности величины х задана на всей оси Ох равенством:

Определить постоянный параметр С.

17. Дискретная случайная величина х задана законом распределения.

x	4	8	9
р	0,3	0,4	0,3

Определить функцию распределение F(x).

18. Плотность распределения непрерывной случайности величины х в интервале (0; ) равна вне этого интервала f(x) = 0. Определить постоянный параметр С.

19. Дискретная случайная величина х задана законом распределения.

x	2	3	7
р	0,4	0,5	0,1

Определить функцию распределение F(x).

20. Плотность распределения непрерывной случайности величины х задана в интервале (0; 1) равенством вне этого интервала f(x)=0. Определить постоянный параметр С.

21. Дискретная случайная величина х задана законом распределения.

x	1	3	6
р	0,3	0,2	0,5

Определить функцию распределение F(x).

22. Случайная величина задана функцией распределения

Определить плотность распределения f(х).

23. Дискретная случайная величина х задана законом распределения.

x	4	6	10
р	0,2	0,6	0,2

Определить функцию распределение F(x).

24. Случайная величина х задана функцией распределения

Определить плотность распределения f(х).

25. Дискретная случайная величина х задана законом распределения:

x	1	3	7
р	0,4	0,3	0,3

Вычертить график функции распределения F(x).

26. Случайная величина х задана функцией распределения

Определить плотность распределения f(х).

27. Дискретная случайная величина х задана законом распределения:

x	3	6	9
р	0,4	0,1	0,5

Вычертить график функции распределения F(x).

28. Случайная величина х задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания х примет значение, заключенное в интервале (1; 2).

29. Дискретная случайная величина х задана законом распределения:

x	3	5	7
р	0,6	0,1	0,3

Вычертить график функции распределения F(x).

30. Случайная величина х задана функцией распределения

Определить вероятность того, что в результате испытания х примет значение, заключенное в интервале (1,5; 2,5).