VI. Случайные величины

1. В лотерее на 100 билетов разыгрываются три вещи, стоимости которых 210, 60 и 30 рублей. Составить закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего один билет.

2. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа опробований при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует.

3. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5; вторым - 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в мишень.

4. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе четыре библиотеки.

5. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. 1). Составить закон распределения числа выстрелов, производимых охотником, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. 2). Найти функцию распределения числа выстрелов, производимых охотником. 3) Найти вероятность того, что охотник сделает не менее одного, но меньше четырех выстрелов.

6. Доля поражения зерна вредителями в скрытой форме составляет 0,002 Составьте закон распределения случайной величины X - числа зараженных зерен среди 500 отобранных.

7. Дан закон распределения случайной величины х:

хi	-2	0	1	3
pi	0,1	0,5	0,3	0,1

Составить закон распределения случайных величин x² и 3х.

8. Выбиваемые двумя стрелками числа очков характеризуются следующими законами распределения: а) для первого стрелка Х; б) для второго Y.

Х число очков	3	4	5		Y число очков	2	3	4	5
Pi	0,1	?	0,5		Pi	0,1	0,1	?	0,3

Стрелки делают по одному выстрелу. Подсчитывается сумма выбиваемых ими очков. Составить закон распределения этой случайной величины.

9. Определить М (Х), D (X), σ (X) случайной величины, если закон распределения ее имеет следующий вид:

хi	0	1	3	4
pi	0,2	?	0,3	0,4

Построить график и на нем указать М (Х), σ (Х).

10. Дано:

хi	-2	-1	0	1	2	3
pi	0,15	0,2	0,3	0,2	0,05	0,1

Найти: M (4X); D (2X); σ (X).

11. Дано:

хi	2	3	4	5		уi	-1	0	1	2	3
pi	0,3	?	0,2	0,1		pi	0,1	03	0,2	0,1	?

Найти: М (2Х+У); D (Х - У); σ (3Х).

12. Даны независимые случайные величины:

X	0	1	2			Y	-2	-1	0
P(x)	0,25	05	0,25			P(y)	0,6	0,3	0,1

Найти: М (Х+2Y); D (Х - 2Y).

13. В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. Составить таблицу распределения числа бракованных изделий из 6 взятых наудачу деталей. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

14. Монету подбрасывают 7 раз. Найти М (X), D (X), σ (X), где X - где число появлений герба.

В задачах 15 - 30 случайная величина задана интегральной функцией распределения F(x). Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(x); 2) математическое ожидание М(Х); 3) дисперсию D(X); 4) построить графики интегральной и дифференциальной функций.

15.

16.

17.

18.

19. Случайная величина X задана плотностью распределения f (x) = 2 sin 4x в интервале [0, ], вне этого интервала f(x) = 0 Найдите вероятность события «х попадет»:

а) в интервале ; ; б) в интервале ; в) в интервале .

20. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной таблицей распределения вероятностей:

хi	2	3	6	7	8	10
pi	0,1	0,2		0,2	0,15	0,1

До выполнения задания вычислите вероятность того, что случайная величина примет значение х = 6.

21. В апреле среднесуточная температура воздуха для некоторой местности удовлетворяет следующему закону распределения вероятностей:

ti	0	1	2	3	4	5	6	7	8
pi

Найдите математическое ожидание М(t) среднесуточной температуры.

22. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими таблицами распределения:

хi	-2	-1	0	1	3
pi	0,1	0,2	0,25	0,35	0,1

yj	-3	0	1	2
qj	0,1	0,2	0,4	0,3

Значения какой из этих случайных величин более рассеяны от их средних значений? Найдите М (X + Y) и D (X + Y).

23. На факультете успеваемость составляет 90%. Наудачу выбираются 40 студентов. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного числа успевающих студентов, оказавшихся в выбранной группе.

24. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей, если проверяется партия из 10 000 деталей, а вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,005.

25. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими таблицами распределения вероятностей:

хi	2	3	4			yj	1	2	3
pi	0,6	0,3	0,1			qj	0,1	0,2	0,7

Найдите математическое, ожидание случайной величины Z = XY двумя способами: а) составив предварительно таблицу распределения вероятностей случайной величины Z; б) используя свойство М (XY) = М (X) М(Y).

26. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими таблицами распределения вероятностей:

хi	1	3			yj	2	4
pi	0,7	0,3			qj	0,6	0,4

Найдите дисперсию случайной величины Z = X + Y двумя способами:

а) составив предварительно таблицу распределения вероятностей случайной величины Z;

6} используя свойство: D (X + Y) = D (X) + D (Y).

27. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X соответственно равны М (X) = 7; D (X) = 1,2. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин: а) 2Х - 3; б) 4Х; в) ЗХ + 5.