Введение

§ 1. Математическая модель статистического эксперимента

1. Статистический эксперимент. События. Статистическим экспериментом называют эксперимент, исход которого зависит от случая. Простейшими примерами такого эксперимента являются подбрасывание монеты (исходы: герб и цифра), подбрасывание игральной кости (исходами являются возможные количества выпавших очков, т. е. числа 1, 2, 3, 4, 5, 6). Другим примером является определение размера какой-либо детали с помощью измерительного прибора. Если прибор исправен и не дает систематической ошибки, то полученный результат будет приближенным значением искомого размера, зависящим от многих причин: давления воздуха, температурного режима, положения глаза наблюдателя, считывающего показания прибора, и т. д., так что исходами этого эксперимента могут быть любые числа из достаточно малого интервала, содержащего точный размер детали.

В результате статистического эксперимента могут происходить те или иные события, например: при бросании игральной кости – выпадение четного числа очков, при измерении детали – получение числа, меньшего истинного размера. Относительно некоторых событий можно быть уверенным, что они при проведении эксперимента наверняка произойдут или наверняка не произойдут. Например, при подбрасывании игральной кости достоверно выпадение не более шести очков и невозможно выпадение семи очков. Однако для такого события, как выпадение четного числа очков, уже нельзя определенно утверждать, произойдет или не произойдет это событие при данном подбрасывании игральной кости. Нельзя даже утверждать, что при повторении эксперимента это событие будет происходить каждый второй раз. При определенных условиях, о которых будет сказано в п. 2, некоторые закономерности все же возникают; для того, чтобы их обнаружить, нужно, чтобы эксперимент был проведен достаточно большое число раз.

Если при проведении статистического эксперимента событие A происходит в том и только в том случае, когда происходит событие В, то A и В считают одним и тем же событием и пишут A  В. В частности, существует лишь одно достоверное событие, которое далее всюду обозначается буквой U, и существует лишь одно невозможное событие, это событие будет обозначаться символом .

Если А – произвольное событие, то через обозначается событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называют событием, противоположным событию А. Если A₁, A₂, A₃, … – конечная или бесконечная последовательность событий, то событие, состоящее в том, что происходит хотя бы одно из событий A₁, A₂, A₃, …, называют суммой этих событий и обозначают A₁ + A₂ + A₃ + … , а событие, состоящее в том, что происходят сразу все события A₁, A₂, A₃, …, называют произведением этих событий и обозначают A₁A₂A₃… . Свойства этих операций предполагаются известными читателю.

2. Частота и вероятность события. Пусть некоторый статистический эксперимент проведен n раз и при этом появление события А зарегистрировано k раз. Тогда число k / n называют частотой появления события А в данной серии испытаний. При проведении новых серий, в которых несколько раз повторяется этот же самый эксперимент, может оказаться, что получающиеся частоты различных событий практически не меняются. В этом случае говорят, что имеет место устойчивость частот, и частоты, полученные в некоторой достаточно большой серии испытаний, принимают за вероятности событий, возникающих в данном эксперименте.

Например, при стрельбе по мишени возможны два исхода: попадание и непопадание. Если при 100 попытках стрелок попал в цель 75 раз и можно предположить, что при новых попытках искусство стрелка заметно не изменится (т. е. имеет место устойчивость частот), то за вероятность попадания можно принять число 0,75.

Для вероятности события A используется обозначение P(A). В частности, невозможное событие не наступит ни при каком испытании, значит, для него всегда будет k  0, поэтому имеем P()  0. Наоборот, достоверное событие наступит при каждом испытании, так что для него имеем k  n, а значит, P(U)  1. Для произвольного события A, очевидно, будет 0 m P(A) m 1. На практике частоты, полученные для события A в разных сериях испытаний, будут несколько отличаться друг от друга, значит, ни одна из них не может считаться точным, а лишь приближенным значением вероятности P(A). Поэтому частоту появления события при повторении эксперимента часто называют точечной оценкой вероятности этого события. Из закона больших чисел, доказанного Я. Бернулли (опубл. в 1713), следует, что эта оценка тем точнее, чем больше число испытаний n.

Лишь в некоторых так называемых классических случаях можно найти точные значения вероятностей событий, возникающих в результате проведения эксперимента. Это случаи, когда число исходов эксперимента конечно и характер эксперимента позволяет считать, что все исходы равновозможны, т. е. нет причин, в силу которых какой-либо исход может наступать чаще, чем другие. Таковы, например, подбрасывание монеты или игральной кости. При подбрасывании монеты получаем один из двух равновозможных исходов – выпадение герба или выпадение цифры, поэтому вероятность как выпадения герба, так и выпадения цифры есть 1/2. Если этот эксперимент проводить достаточно большое число раз, то частоты получения герба окажутся приближениями вероятности 1/2. Например, К. Пирсон подбросил монету 12 000 раз и получил 6019 случаев выпадения герба, что дает частоту 0,5016, весьма близкую к 1/2.

Легко убедиться, что если события А и В несовместимы, т. е. АВ  , то при повторении эксперимента частота появления события А + В равна сумме частот появления событий А и В. Отсюда следует основное свойство вероятности, которое называется свойством аддитивности¹:

P(A + B)  P(A) + P(B), если АВ  .

Это свойство, очевидно, обобщается на сумму любого конечного числа попарно несовместимых событий.

3. Вероятностные пространства. При проведении статистического эксперимента любое событие происходит или не происходит в зависимости от того, каким оказывается исход этого эксперимента. Например, если A – выпадение четного числа очков при подбрасывании игральной кости, то A происходит при исходах 2, 4 и 6 и не происходит при исходах 1, 3 и 5.

Таким образом, каждому событию соответствует множество исходов эксперимента, благоприятных этому событию, т. е. таких исходов, при которых данное событие происходит. Это множество оказывается удобным обозначать так же, как и само событие. Например, если A – выпадение четного числа очков при подбрасывании игральной кости, то имеем A  {2, 4, 6}.

В частности, достоверное событие U происходит при любом исходе, следовательно, множество U есть множество всех исходов данного эксперимента. Напротив, невозможное событие  не происходит ни при каком исходе, поэтому соответствующее множество должно быть пустым, т. е. множеством, не содержащим ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом , т. е. так же, как было обозначено выше невозможное событие.

Множество исходов, благоприятных любому событию A, является подмножеством множества всех исходов U, так что имеем A  U.

Обозначим буквой F множество всех событий, связанных с данным статистическим экспериментом. Тогда запись AF означает, что A является событием. Основные свойства F записываются следующим образом:

Если то

Если то (1)

и

Каждому событию соответствует некоторое подмножество множества U, поэтому F можно рассматривать и как некоторую совокупность подмножеств множества U. Однако для произвольного эксперимента совсем не обязательно, что каждое подмножество множества U будет множеством исходов, благоприятных какому-то событию, так что F не обязательно содержит все подмножества множества U (но удовлетворяет условиям (1)).

Исходами, благоприятными событию , являются те исходы статистического эксперимента, которые не благоприятны событию А. Поэтому множество состоит в точности из элементов множества U, которые не принадлежат множеству А. Это множество называют дополнением множества А до множества U.

Событие А + В происходит только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А и В, т. е. когда исход эксперимента благоприятен хотя бы одному из событий А или В, поэтому множество А + В является объединением множеств А и В.

Событие АВ происходит тогда, когда происходят оба события А и В, т. е. когда исход эксперимента благоприятен и событию А, и событию В, поэтому множество АВ есть пересечение множеств А и В: его элементы – все исходы, принадлежащие обоим множествам А и В.

Аналогичным образом, сумме и произведению любой конечной или бесконечной последовательности событий A₁, A₂, A₃, … соответствует объединение и пересечение множеств A₁, A₂, A₃, … .

Рис. 1 иллюстрирует теоретико-множественные операции объединения, пересечения и дополнения. Множество U изображено в виде прямоугольника, множества А и В – в виде кругов, лежащих в этом прямоугольнике.

Рис. 1

Пусть F – совокупность подмножеств множества U, удовлетворяющая условиям (1). Числовую функцию P, определенную на F, значения которой лежат на отрезке [0; 1], называют вероятностной функцией, если выполняются следующие условия:

Если – конечная или бесконечная

последовательность попарно непересекающихся (2)

множеств, принадлежащих совокупности F, то

(свойство полной аддитивности).

Тройка (U, F, P), в которой U – произвольное непустое множество, F – совокупность подмножеств множества U, удовлетворяющая условиям (1), и P – вероятностная функция, определенная на F, т. е. функция, удовлетворяющая условиям (2), называется вероятностным пространством.

Математической моделью статистического эксперимента называют вероятностное пространство (U, F, P), в котором:

U – множество исходов данного эксперимента;

F – множество событий данного эксперимента, рассматриваемых как подмножества множества U;

P – функция, определенная на F и сопоставляющая каждому событию AF его вероятность P(A).

4. Условная вероятность. Независимые события. В различных задачах, связанных с подсчетом вероятности, приходится учитывать тот факт, что известие о наступлении некоторого события может существенно изменять вероятности появления других событий. Например, вероятность выпадения шести очков при подбрасывании игральной кости равна, очевидно, 1/6. Однако, если мы каким-либо образом узнали, что число выпавших очков было четным, то остаются 3 равновозможных случая (2, 4 и 6), из которых событию, состоящему в выпадении шести очков, благоприятен лишь один случай. Следовательно, вероятность выпадения шести очков при условии, что число выпавших очков было четным, равна 1/3.

Вероятность события В при условии, что произошло какое-то событие А, называют условной и обозначают P(B/A). Точное определение условной вероятности можно получить с помощью следующих соображений. Предположим, что некоторый статистический эксперимент, в котором могут появляться события A и B, проведен n раз, причем появление события A зарегистрировано k раз и, следовательно, частота появления события A равна k/n. Обозначим через m число появлений события B в тех испытаниях, в которых произошло событие A. Тогда частота появления события B при условии, что рассматриваются лишь испытания, в которых произошло событие A, есть . Очевидно, имеем . Поскольку m является в точности числом испытаний, в которых произошло событие AB, то m/n – частота появления события AB в данной последовательности испытаний. Таким образом, частота события B, подсчитанная при условии, что произошло событие A, равна отношению частоты события AB к частоте события A. Поэтому принято следующее определение.

Условной вероятностью события B при условии A называется отношение

(3)

(если P(A)  0, то условная вероятность P(B/A) не определяется).

Функция P_A, определенная на множестве всех событий равенством P_A(B)  P(B/A), является вероятностной функцией, т. к. удовлетворяет всем условиям (2), а следовательно, обладает теми же свойствами, что и обычная вероятность. Таким образом, если (U, F, P) – вероятностное пространство, то и (U, F, P_A) – вероятностное пространство.

События A и B называются независимыми, если имеет место равенство

P(AB)  P(A)P(B), (4)

говорят также, что A не зависит от B или B не зависит от A. Равенство (4) всегда выполняется, если хотя бы одно из событий A и B имеет вероятность 0 или 1. В частности, невозможное и достоверное события не зависят ни от каких событий.

Если P(A)  0, то из (3) и (4) следует P(B/A)  P(B), так что при P(A)  0 событие B тогда и только тогда не зависит от события A, когда наступление события A не меняет вероятности события B.

События A₁, A₂, ..., A_n называют попарно независимыми, если каждые два события этой группы независимы. Эти события называют независимыми в совокупности, если любое из них не зависит ни от какого произведения нескольких других событий этой группы.

Из независимости в совокупности следует попарная независимость, однако обратное неверно.

5. Некоторые сведения о множествах. Понятие вероятностного пространства позволяет свести изучение статистического эксперимента к рассмотрению математических объектов – множеств и функций. Здесь будут приведены некоторые понятия теории множеств, используемые в дальнейшем изложении.

Определение 1. Множество Х называется конечным, если оно является пустым или если его элементы можно занумеровать с помощью первых натуральных чисел, т. е. множество можно записать в виде Х  {x₁, x₂, …, x_n}. Мно­жество, не являющееся конечным, называют бесконечным.

Всякое подмножество конечного множества, очевидно, конечно. Следовательно, всякое множество, содержащее бесконечное подмножество, само бесконечно. Ясно также, что объединение Х + Y и пересечение ХY конечных множеств Х и Y являются снова конечными множествами.

Определение 2. Множество Х называется счетным, если его элементы можно занумеровать с помощью всех натуральных чисел, т. е. записать в виде множества членов некоторой последовательности: Х  {x₁, x₂, x₃, x₄, …}, где элементы x₁, x₂, x₃, x₄, … все попарно различны.

Например, множество всех натуральных чисел   {1, 2, 3, 4, ...}, очевидно, счетно; множество всех целых чисел  также счетно, т. к. это множество можно записать в виде   {0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, ...}. Можно доказать, что множество  всех рациональных чисел, т. е. чисел, представимых в виде m / n, где m, n, также является счетным.

Однако множество всех действительных чисел  не является счетным: как было доказано немецким математиком Г. Кантором, никакая последовательность действительных чисел x₁, x₂, x₃, x₄, … не может содержать все действительные числа.

Легко убедиться, что всякое бесконечное множество Х содержит счетное подмножество. Действительно, выберем любой элемент множества Х и обозначим его x₁. Так как множество Х бесконечно, в нем имеются элементы, отличные от x₁;  выберем любой из таких элементов и обозначим его x₂. Так как множество Х бесконечно, в нем имеются элементы, отличные и от x₁, и от x₂; выберем любой из этих элементов и обозначим его  x₃. Продолжая этот процесс неограниченно, получаем множество {x₁, x₂, x₃, …}, являющееся счетным подмножеством множества Х.

Этот результат показывает, что счетные множества являются по числу элементов наименьшими из всех бесконечных множеств.

Справедливы также следующие утверждения, доказательства которых оставим читателю в качестве упражнения.

(а) Если множество Х конечно, а Y счетно, то объединение Х + Y счетно.

(б) Объединение X₁ + X₂ + X₃ + … конечной или бесконечной последовательности счетных множеств есть счетное множество.