- •С. Б. Волкова математическая статистика и планирование эксперимента
- •§ 2. Интервальные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
- •§ 3. Проверка статистических гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . 58
- •§ 2. Доверительные интервалы для параметров
- •§ 3. Полные факторные эксперименты типа 2k.
- •§ 4. Оптимизация планов. Поиск экстремума
- •Предисловие
- •Введение
- •§ 1. Математическая модель статистического эксперимента
- •§ 2. Случайные величины
- •Глава 1. Элементы математической статистики
- •§ 1. Выборочный метод. Точечные оценки
- •§ 2. Интервальные оценки
- •§ 3. Проверка статистических гипотез
- •2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин.
- •§ 4. Однофакторный дисперсионный анализ
- •§ 5. Элементы теории корреляции
- •Глава 2. Планирование эксперимента
- •§ 1. Пассивный эксперимент
- •7. Оценивание функции отклика и ее параметров.
- •§ 2. Доверительные интервалы для параметров функции отклика и гипотеза адекватности
- •§ 3. Полные факторные эксперименты типа 2k . Анализ факторных экспериментов
- •4. Насыщенное и ненасыщенное планирование.
- •§ 4. Оптимизация планов. Поиск экстремума функции отклика
- •Для распределения 2 с n степенями свободы
- •Критические точки критерия 2:
- •Критические точки критерия 2:
- •Литература для дополнительного чтения
- •Светлана Борисовна Волкова математическая статистика и планирование эксперимента
- •162600, Г. Череповец, пр. Луначарского, 5.
§ 2. Доверительные интервалы для параметров функции отклика и гипотеза адекватности
1. Дополнительные сведения из дисперсионного анализа. В этом параграфе будет предполагаться, что наблюдения yis (i 1, 2, ..., n; s 1, 2, ..., mi) нормально распределены и при этом выполняются условия:
; , (1)
где , – матрица размера с одинаковыми строками (i 1, 2, ..., n), β (1 2 ... p)T и .
Из первого уравнения (1) получаем при всех i 1, 2, ..., n где обозначено . Следовательно, имеем
(i 1, 2, ..., n; s 1, 2, ..., ml).
Положим , ( – произвольный вектор-столбец размерности p). Возведем в квадрат обе части тождества и просуммируем по s и по i. Получим
поскольку (i 1, 2, ..., n). Таким образом, имеем равенство
S0 S1 + S2, (2)
где обозначено , , . Предположим теперь, что эти суммы получены при условии, что – МНК-оценка вектора β параметров функции отклика, найденная в п. 8 § 1, и введем в рассмотрение следующие величины
, , .
Можно доказать, что при сделанных предположениях эти величины обладают свойствами, аналогичными свойствам величин , и , установленным в пунктах 3 и 4 § 4 гл. 1. Именно, все они являются несмещенными оценками дисперсии 2 и при этом случайные величины
, и
распределены по закону с числами степеней свободы соответственно N – p, n – p и N – n, причем две последние из них являются независимыми.
2. Доверительные интервалы для параметров функции отклика. Напомним (см. гл. 1, § 2, п. 1), что доверительным интервалом называют интервал, который с заданной надежностью покрывает оцениваемый параметр.
Пусть – вектор-столбец МНК-оценок параметров функции отклика. Поскольку , где y – случайный вектор с независимыми компонентами, распределенными по нормальному закону, то все также распределены по нормальному закону. Так как МНК-оценки являются несмещенными (см. § 1, п. 3), имеем ( j 1, 2, ..., p). Кроме того, равенство (10) из п. 4 § 1 показывает, что , где – элемент матрицы . Значит, случайная величина
распределена по нормальному закону c параметрами M 0 и D 1. Обозначим также
,
где сумма S0 построена по оценкам так же, как в п. 1. Поскольку эта случайная величина распределена по закону χ2 с числом степеней свободы N – p, случайная величина
(3)
распределена по закону Стьюдента с N – p степенями свободы.
При заданном (0 < < 1) по таблице для распределения Стьюдента можно найти число t, удовлетворяющее уравнению P(| tN-p t, так что с вероятностью будем иметь , или, что равносильно,
,
откуда следует что – доверительный интервал для параметра с надежностью .
Замечание. Случайная величина (3) может быть использована для проверки гипотезы H0 о том, что некоторый параметр функции отклика равен 0. Действительно, если эта гипотеза верна, то получаем
,
причем эта случайная величина должна распределяться по закону Стьюдента с N – p степенями свободы. При альтернативной гипотезе HA: критическая область является двусторонней. Найдем для заданного уровня значимости и числа степеней свободы N – p по таблице 4 правую критическую точку . Тогда имеем следующие возможности: , в этом случае нет оснований отвергать гипотезу H0; если же , то гипотеза H0 отвергается.
3. Проверка гипотезы адекватности модели. Пусть определенная в области G функция отклика
неизвестна, т. е. неизвестны функции и параметры j, и задан спектр плана: ; , где . Если – повторные наблюдения в точке xi (i 1, 2, ..., n), то матрица плана имеет вид , где – матрица размера , строки которой одинаковы, и – вектор-столбец наблюдений в точке xi, соответствующий матрице (это соответствие показано стрелками).
Положим
, (4)
где – заданные функции.
Гипотезу H0 о том, что при всех xG выполняется равенство , называют гипотезой адекватности регрессионной модели или функции отклика (4). Она проверяется при альтернативной гипотезе HА: .
Если гипотеза H0 верна, то МНК-оценка функции отклика равна
.
Пусть и (i 1, 2, ..., n). Рассмотрим суммы
,
, где .
Как доказано в п. 1, для таких сумм имеет место равенство (2). Заметим также, что сумма S1 должна, очевидно, быть небольшой, если модель адекватна, так что ее величина является характеристикой степени адекватности; сумма S2 связана с дисперсией ошибок наблюдения, поэтому ее называют ошибкой эксперимента. Обозначим
, .
Если гипотеза H0 верна, то эти величины совпадают соответственно с величинами и , рассмотренными в п. 1, значит, случайные величины
и
независимы и распределены по закону с числами степеней свободы соответственно и N – n. Отсюда следует, что если основная гипотеза верна, то случайная величина
имеет распределение Фишера с и N – n степенями свободы.
Вычислив и найдя по таблице распределения Фишера по уровню значимости и степеням свободы n – p0 и N – n , получаем следующие возможности:
, в этом случае нет оснований отвергать основную гипотезу;
, тогда основную гипотезу отвергаем.
Если гипотеза H0 отвергается, модель (4) считается неадекватной и приходится выбирать другую модель. Выбор новой модели зависит от характера задачи, стоящей перед исследователем. Может возникнуть необходимость в проведении дополнительных наблюдений для проверки новой гипотезы.