- •С. Б. Волкова математическая статистика и планирование эксперимента
- •§ 2. Интервальные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
- •§ 3. Проверка статистических гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . 58
- •§ 2. Доверительные интервалы для параметров
- •§ 3. Полные факторные эксперименты типа 2k.
- •§ 4. Оптимизация планов. Поиск экстремума
- •Предисловие
- •Введение
- •§ 1. Математическая модель статистического эксперимента
- •§ 2. Случайные величины
- •Глава 1. Элементы математической статистики
- •§ 1. Выборочный метод. Точечные оценки
- •§ 2. Интервальные оценки
- •§ 3. Проверка статистических гипотез
- •2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин.
- •§ 4. Однофакторный дисперсионный анализ
- •§ 5. Элементы теории корреляции
- •Глава 2. Планирование эксперимента
- •§ 1. Пассивный эксперимент
- •7. Оценивание функции отклика и ее параметров.
- •§ 2. Доверительные интервалы для параметров функции отклика и гипотеза адекватности
- •§ 3. Полные факторные эксперименты типа 2k . Анализ факторных экспериментов
- •4. Насыщенное и ненасыщенное планирование.
- •§ 4. Оптимизация планов. Поиск экстремума функции отклика
- •Для распределения 2 с n степенями свободы
- •Критические точки критерия 2:
- •Критические точки критерия 2:
- •Литература для дополнительного чтения
- •Светлана Борисовна Волкова математическая статистика и планирование эксперимента
- •162600, Г. Череповец, пр. Луначарского, 5.
Критические точки критерия 2:
Таблица 4. Корни уравнения P(| t | < x) для распределения Стьюдента с n степенями свободы и критические точки критерия Стьюдента при уровне значимости α
n |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,998 |
0,999 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 80 100 120 |
1,000 0,816 765 741 727 718 711 706 703 700 697 695 694 692 691 690 689 688 688 687 686 686 685 685 684 684 684 683 683 683 681 679 678 677 677 674 |
1,376 1,061 0,978 941 920 906 896 889 883 879 876 873 870 868 866 865 863 862 861 860 859 858 858 857 856 856 855 855 854 854 851 848 846 845 845 842 |
1,963 1,336 1,250 1,190 1,156 1,134 1,119 1,108 1,100 1,093 1,088 1,083 1,079 1,076 1,074 1,071 1,069 1,067 1,066 1,064 1,063 1,061 1,060 1,059 1,058 1,058 1,057 1,056 1,055 1,055 1,050 1,046 1,043 1,042 1,041 1,036 |
3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,303 1,296 1,292 1,290 1,289 1,282 |
6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,684 1,671 1,664 1,660 1,658 1,645 |
12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,103 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,021 2,000 1,990 1,984 1,980 1,960 |
31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,423 2,390 2,374 2,364 2,358 2,326 |
63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,704 2,660 2,639 2,626 2,617 2,576 |
318,31 22,327 10,215 7,173 5,893 5,208 4,785 4,501 4,297 4,144 4,025 3,930 3,852 3,787 3,733 3,686 3,646 3,610 3,579 3,552 3,527 3,505 3,485 3,467 3,450 3,435 3,421 3,408 3,400 3,385 3,307 3,232 3,195 3,174 3,160 3,086 |
536,619 31,598 12,941 8,610 6,859 5,959 5,405 5,041 4,781 4,587 4,487 4,318 4,221 4,140 4,073 4,015 3,965 3,922 3,883 3,850 3,819 3,792 3,767 3,745 3,725 3,707 3,690 3,674 3,659 3,646 3,551 3,460 3,416 3,390 3,373 3,291 |
|
0,25 |
0,2 |
0,15 |
0,1 |
0,05 |
0,025 |
0,01 |
0,005 |
0,001 |
0,0005 |
Для двусторонней критической области .
Таблица 5. Критические точки распределения Фишера
Уровень значимости 0,05
k2 |
k1 |
|
||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
||
1 |
161 |
200 |
216 |
225 |
230 |
234 |
237 |
239 |
241 |
242 |
|
|
2 |
18,51 |
19,00 |
19,16 |
19,25 |
19,30 |
19,33 |
19,36 |
19,37 |
19,38 |
19,39 |
|
|
3 |
10,13 |
9,55 |
9,28 |
9,12 |
9,01 |
8,94 |
8,88 |
8,84 |
8,81 |
8,78 |
|
|
4 |
7,71 |
6,94 |
6,59 |
6,39 |
6,26 |
6,16 |
6,09 |
6,04 |
6,00 |
5,96 |
|
|
5 |
6,61 |
5.79 |
5,41 |
5,19 |
5,05 |
4,95 |
4,88 |
4,82 |
4,78 |
4,74 |
|
|
6 |
5,99 |
5,14 |
4,76 |
4,53 |
4,39 |
4,28 |
4,21 |
4,15 |
4,10 |
4,06 |
|
|
7 |
5,59 |
4,74 |
4,35 |
4,12 |
3,97 |
3,87 |
3,79 |
3,73 |
3,68 |
3,63 |
|
|
8 |
5,32 |
4,45 |
4,07 |
3,84 |
3,69 |
3,58 |
3,50 |
3,44 |
3,39 |
3,34 |
|
|
9 |
5,12 |
4,26 |
3,86 |
3,63 |
3,48 |
3,37 |
3,29 |
3,23 |
3,18 |
3,13 |
|
|
10 |
4,96 |
4,10 |
3,71 |
3,48 |
3,33 |
3,22 |
3,14 |
3,07 |
3,02 |
2,97 |
|
|
11 |
4,84 |
3,98 |
3,59 |
3,36 |
3,20 |
3,09 |
3,01 |
2,95 |
2,90 |
2,86 |
|
|
12 |
4,75 |
3,88 |
3,49 |
3,26 |
3,11 |
3,00 |
2,92 |
2,85 |
2,80 |
2,76 |
|
|
13 |
4,67 |
3,80 |
3,41 |
3,18 |
3,02 |
2,92 |
2,84 |
2,77 |
2,72 |
2,67 |
|
|
14 |
4,60 |
3,74 |
3,34 |
3,11 |
2,96 |
2,85 |
2,77 |
2,70 |
2,65 |
2,60 |
|
|
15 |
4,54 |
3,68 |
3,29 |
3,06 |
2,90 |
2,79 |
2.70 |
2,64 |
2,59 |
2,55 |
|
|
16 |
4,49 |
3,63 |
3,24 |
3,01 |
2,85 |
2,74 |
2.66 |
2.59 |
2,54 |
2,49 |
|
|
17 |
4.45 |
3,59 |
3,20 |
2,96 |
2,81 |
2,70 |
2,62 |
2,55 |
2,50 |
2,45 |
|
|
18 |
4,41 |
3,55 |
3,16 |
2,93 |
2,77 |
2,66 |
2,58 |
2,51 |
2,46 |
2,41 |
|
|
19 |
4,38 |
3,52 |
3,12 |
2,90 |
2,74 |
2,63 |
2,54 |
2,48 |
2,42 |
2,38 |
|
|
20 |
4,35 |
3,49 |
3,10 |
2,87 |
2,71 |
2,60 |
2,51 |
2,45 |
2,39 |
2,35 |
|
|
k2 |
k1 |
|||||||||||
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
||
1 |
243 |
244 |
245 |
245 |
246 |
246 |
247 |
247 |
248 |
248 |
|
|
2 |
19,40 |
19,41 |
19,4 |
19,4 |
19,4 |
19,4 |
19,4 |
19,4 |
19,4 |
19,4 |
|
|
3 |
8,76 |
8,74 |
8,73 |
8,71 |
8,70 |
8,69 |
8,68 |
8,67 |
8,67 |
8,66 |
|
|
4 |
5,93 |
5,91 |
5,89 |
5,87 |
5,86 |
5,84 |
5,83 |
5,82 |
5,81 |
5,80 |
|
|
5 |
4,70 |
4,68 |
4,66 |
4,64 |
4,62 |
4,60 |
4,59 |
4,58 |
4,57 |
4,56 |
|
|
6 |
4,03 |
4,00 |
3,98 |
4,00 |
3,94 |
3,92 |
3,91 |
3,90 |
3,88 |
3,87 |
|
|
7 |
3,60 |
3,57 |
3,55 |
3,53 |
3,51 |
3,49 |
3,48 |
3,47 |
3,46 |
3,44 |
|
|
8 |
3,31 |
3,28 |
3,26 |
3,24 |
3,22 |
3,20 |
3,19 |
3,17 |
3,16 |
3,15 |
|
|
9 |
3,10 |
3,07 |
3,05 |
3,03 |
3,01 |
2,99 |
2,97 |
2,96 |
2,95 |
2,94 |
|
|
10 |
2,94 |
2,91 |
2,89 |
2,86 |
2,85 |
2,83 |
2,81 |
2,80 |
2,79 |
2,77 |
|
|
11 |
2,82 |
2,79 |
2,76 |
2,74 |
2,72 |
2,70 |
2,69 |
2,67 |
2,66 |
2,65 |
|
|
12 |
2,72 |
2,69 |
2,66 |
2,64 |
2,62 |
2,60 |
2,58 |
2,57 |
2,56 |
2,54 |
|
|
13 |
2,63 |
2,60 |
2,58 |
2,55 |
2,53 |
2,51 |
2,50 |
2,48 |
2,47 |
2,46 |
|
|
14 |
2,56 |
2,53 |
2,51 |
2,48 |
2,46 |
2,44 |
2,43 |
2,41 |
2,40 |
2,39 |
|
|
15 |
2,51 |
2,48 |
2,45 |
2,42 |
2,40 |
2,38 |
2,37 |
2,35 |
2,34 |
2,33 |
|
|
16 |
2,45 |
2,42 |
2,40 |
2,37 |
2,35 |
2,33 |
2,32 |
2,30 |
2,29 |
2,28 |
|
|
17 |
2,41 |
2,38 |
2,35 |
2,33 |
2,31 |
2,29 |
2,27 |
2,26 |
2,24 |
2,23 |
|
|
18 |
2,37 |
2,34 |
2,31 |
2,29 |
2,27 |
2,25 |
2,23 |
2,22 |
2,20 |
2,19 |
|
|
19 |
2,34 |
2,31 |
2,28 |
2,26 |
2,23 |
2,21 |
2,20 |
2,18 |
2,17 |
2,16 |
|
|
20 |
2,31 |
2,28 |
2,25 |
2,22 |
2,20 |
2,18 |
2,17 |
2,15 |
2,14 |
2,12 |
|
Продолжение на стр. 149
(k1 – число степеней свободы распределения с большей дисперсией,
k2 – число степеней свободы распределения с меньшей дисперсией)
Уровень значимости 0,025
k2 |
k1 |
|
||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
||
1 |
648 |
800 |
864 |
900 |
922 |
937 |
948 |
956 |
963 |
969 |
|
|
2 |
38,5 |
39,0 |
39,2 |
39,3 |
39,3 |
39,4 |
39,4 |
39,4 |
39,4 |
39,4 |
|
|
3 |
17,4 |
16,0 |
15,4 |
15,1 |
14,9 |
14,7 |
14,6 |
14,6 |
14,5 |
14,4 |
|
|
4 |
12,2 |
10,7 |
9,98 |
9,60 |
9,36 |
9,20 |
9,07 |
8,98 |
8,90 |
8,84 |
|
|
5 |
10,0 |
8,43 |
7,77 |
7,39 |
7,15 |
6,98 |
6,85 |
6,76 |
6,68 |
6,62 |
|
|
6 |
8,81 |
7,26 |
6,60 |
6,23 |
5,99 |
5,82 |
5,70 |
5,60 |
5,52 |
5,46 |
|
|
7 |
8,07 |
6,54 |
5,89 |
5,52 |
5,29 |
5,12 |
4,99 |
4,90 |
4,82 |
4,76 |
|
|
8 |
7,57 |
6,06 |
5,42 |
5,05 |
4,82 |
4,65 |
4,53 |
4,43 |
4,36 |
4,30 |
|
|
9 |
7,21 |
5,71 |
5,08 |
4,72 |
4,48 |
4,32 |
4,20 |
4,10 |
4,03 |
3,96 |
|
|
10 |
6,94 |
5,46 |
4,83 |
4,47 |
4,24 |
4,07 |
3,95 |
3,85 |
3,78 |
3,72 |
|
|
11 |
6,72 |
5,26 |
4,63 |
4,28 |
4,04 |
3,88 |
3,76 |
3,66 |
3,59 |
3,53 |
|
|
12 |
6,55 |
5,10 |
4,47 |
4,12 |
3,89 |
3,73 |
3,63 |
3,51 |
3,44 |
3,37 |
|
|
13 |
6,41 |
4,97 |
4,35 |
4,00 |
3,77 |
3,60 |
3,48 |
3,39 |
3,31 |
3,25 |
|
|
14 |
6,30 |
4,86 |
4,24 |
3,89 |
3,66 |
3,50 |
3,38 |
3,29 |
3,21 |
3,15 |
|
|
15 |
6,20 |
4,77 |
4,15 |
3,80 |
3,58 |
3,41 |
3,29 |
3,21 |
3,12 |
3,06 |
|
|
16 |
6,12 |
4,69 |
4,08 |
3,73 |
3,50 |
3,34 |
3,22 |
3,12 |
3,05 |
2,99 |
|
|
17 |
6,04 |
4,62 |
4,01 |
3,66 |
3,44 |
3,28 |
3,16 |
3,06 |
2,98 |
2,92 |
|
|
18 |
5,98 |
4,56 |
3,95 |
3,61 |
3,38 |
3,22 |
3,10 |
3,01 |
2,93 |
2,87 |
|
|
19 |
5,92 |
4,51 |
3,90 |
3,56 |
3,33 |
3,17 |
3,05 |
2,96 |
2,88 |
2,82 |
|
|
20 |
5,87 |
4,46 |
3,86 |
3,51 |
3,29 |
3,13 |
3,01 |
2,91 |
2,84 |
2,77 |
|
|
k2 |
k1 |
|||||||||||
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
||
1 |
973 |
977 |
980 |
983 |
985 |
987 |
989 |
990 |
992 |
993 |
|
|
2 |
39,4 |
39,4 |
39,4 |
39,4 |
39,4 |
39,4 |
39,4 |
39,5 |
39,5 |
39,5 |
|
|
3 |
14,4 |
14,3 |
14,3 |
14,3 |
14,3 |
14,2 |
14,2 |
14,2 |
14,2 |
14,2 |
|
|
4 |
8,79 |
8,75 |
8,71 |
8,68 |
8,66 |
8,63 |
8,61 |
8,59 |
8,58 |
8,56 |
|
|
5 |
6,57 |
6,52 |
6,49 |
6,46 |
6,43 |
6,40 |
6,38 |
6,36 |
6,34 |
6,33 |
|
|
6 |
5,41 |
5,37 |
5,33 |
5,30 |
5,27 |
5,24 |
5,22 |
5,20 |
5,18 |
5,17 |
|
|
7 |
4,71 |
4,67 |
4,63 |
4,60 |
4,57 |
4,54 |
4,52 |
4,50 |
4,48 |
4,47 |
|
|
8 |
4,24 |
4,20 |
4,16 |
4,13 |
4,10 |
4,08 |
4,05 |
4,03 |
4,02 |
4,00 |
|
|
9 |
3,91 |
3,87 |
3,83 |
3,80 |
3,77 |
3,74 |
3,72 |
3,70 |
3,68 |
3,67 |
|
|
10 |
3,67 |
3,62 |
3,58 |
3,55 |
3,52 |
3,50 |
3,47 |
3,45 |
3,44 |
3,42 |
|
|
11 |
3,47 |
3,43 |
3,39 |
3,36 |
3,33 |
3,30 |
3,28 |
3,26 |
3,24 |
3,23 |
|
|
12 |
3,32 |
3,28 |
3,24 |
3,21 |
3,18 |
3,15 |
3,13 |
3,11 |
3,09 |
3,07 |
|
|
13 |
3,20 |
3,15 |
3,12 |
3,08 |
3,05 |
3,03 |
3,00 |
2,98 |
2,96 |
2,95 |
|
|
14 |
3,09 |
3,05 |
3,01 |
2,98 |
2,95 |
2,92 |
2,90 |
2,88 |
2,86 |
2,84 |
|
|
15 |
3,01 |
2,96 |
2,92 |
2,89 |
2,86 |
2,84 |
2,81 |
2,79 |
2,77 |
2,76 |
|
|
16 |
2,93 |
2,89 |
2,85 |
2,82 |
2,79 |
2,76 |
2,74 |
2,72 |
2,70 |
2,68 |
|
|
17 |
2,87 |
2,82 |
2,79 |
2,75 |
2,72 |
2,70 |
2,67 |
2,65 |
2,63 |
2,62 |
|
|
18 |
2,81 |
2,77 |
2,73 |
2,70 |
2,67 |
2,64 |
2,62 |
2,60 |
2,58 |
2,56 |
|
|
19 |
2,76 |
2,72 |
2,68 |
2,65 |
2,62 |
2,59 |
2,57 |
2,55 |
2,53 |
2,51 |
|
|
20 |
2,72 |
2,68 |
2,64 |
2,60 |
2,57 |
2,55 |
2,52 |
2,50 |
2,48 |
2,46 |
|