- •С. Б. Волкова математическая статистика и планирование эксперимента
- •§ 2. Интервальные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
- •§ 3. Проверка статистических гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . 58
- •§ 2. Доверительные интервалы для параметров
- •§ 3. Полные факторные эксперименты типа 2k.
- •§ 4. Оптимизация планов. Поиск экстремума
- •Предисловие
- •Введение
- •§ 1. Математическая модель статистического эксперимента
- •§ 2. Случайные величины
- •Глава 1. Элементы математической статистики
- •§ 1. Выборочный метод. Точечные оценки
- •§ 2. Интервальные оценки
- •§ 3. Проверка статистических гипотез
- •2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин.
- •§ 4. Однофакторный дисперсионный анализ
- •§ 5. Элементы теории корреляции
- •Глава 2. Планирование эксперимента
- •§ 1. Пассивный эксперимент
- •7. Оценивание функции отклика и ее параметров.
- •§ 2. Доверительные интервалы для параметров функции отклика и гипотеза адекватности
- •§ 3. Полные факторные эксперименты типа 2k . Анализ факторных экспериментов
- •4. Насыщенное и ненасыщенное планирование.
- •§ 4. Оптимизация планов. Поиск экстремума функции отклика
- •Для распределения 2 с n степенями свободы
- •Критические точки критерия 2:
- •Критические точки критерия 2:
- •Литература для дополнительного чтения
- •Светлана Борисовна Волкова математическая статистика и планирование эксперимента
- •162600, Г. Череповец, пр. Луначарского, 5.
§ 3. Полные факторные эксперименты типа 2k . Анализ факторных экспериментов
1. Полные факторные эксперименты и кодированные переменные. При проведении экспериментальных исследований часто применяются факторные эксперименты.
Пусть – функция отклика и задан план, матрица которого есть (i 1, 2, ..., k; u 1, 2, ..., N), где – значение переменной (фактора) в u‑м опыте. Каждое из различных значений, принимаемых переменной в эксперименте, называют уровнем этой переменной. Обозначим через si число различных уровней фактора Xi.
Определение 1. Эксперимент, в котором уровни каждого фактора комбинируются со всеми уровнями других факторов, называется полным факторным экспериментом.
Полный факторный эксперимент состоит из различных экспериментов, поэтому его называют экспериментом типа .
Определение 2. План называется симметричным, если все факторы имеют одинаковое число уровней, т. е. В этом случае полный факторный эксперимент принято называть экспериментом типа sk, где k – число факторов.
Предположим, что число различных значений, которые может принимать переменная , в каждом опыте равно 2, т. е. s 2. Тогда говорят, что переменная в каждом опыте варьируется на двух уровнях. Обозначим эти уровни через и . Если , то называют верхним уровнем, а – нижним уровнем фактора .
Обозначим , и введем новые переменные
(i 1, 2, ..., k).
Переменные xi называют кодированными переменными. Легко проверить, что они могут принимать лишь два значения 1 (верхний уровень) и –1 (нижний уровень). Заменяя переменные кодированными переменными , можно представить функцию отклика в виде
. (1)
2. Полные факторные эксперименты типа 22 и 23. Если число независимых переменных равно двум, то равенство (1) приводится к виду . Результаты наблюдений, отвечающих всевозможным комбинациям уровней переменных x1 и x2, сводятся в таблицу.
Номер опыта |
|
|
|
Наблюдения |
1 |
– 1 |
– 1 |
1 |
y1 |
2 |
1 |
– 1 |
– 1 |
y2 |
3 |
– 1 |
1 |
– 1 |
y3 |
4 |
1 |
1 |
1 |
y4 |
Пусть функция отклика имеет вид
и в каждом варианте испытаний проводится по одному наблюдению. Тогда имеем полный факторный эксперимент типа 22. Матрица плана и матрица планирования:
, .
Столбцы матрицы X попарно ортогональны, следовательно, планирование является ортогональным. Отсюда, используя результаты п. 7 § 1, получаем, что МНК‑оценки параметров некоррелированны и имеют вид
,
где Xj – j-й столбец матрицы Х, при этом .
Пусть теперь число переменных равно трем и функция отклика имеет вид
.
Рассмотрим все возможные комбинации уровней кодированных переменных , и .
Номер опыта |
|
|
|
|
|
|
|
Наблю- дения |
1 |
– 1 |
– 1 |
– 1 |
1 |
1 |
1 |
– 1 |
y1 |
2 |
1 |
– 1 |
– 1 |
– 1 |
– 1 |
1 |
1 |
y2 |
3 |
– 1 |
1 |
– 1 |
– 1 |
1 |
– 1 |
1 |
y3 |
4 |
1 |
1 |
– 1 |
1 |
– 1 |
– 1 |
– 1 |
y4 |
5 |
– 1 |
– 1 |
1 |
1 |
– 1 |
– 1 |
1 |
y5 |
6 |
1 |
– 1 |
1 |
– 1 |
1 |
– 1 |
– 1 |
y6 |
7 |
– 1 |
1 |
1 |
– 1 |
– 1 |
1 |
– 1 |
y7 |
8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
y8 |
Здесь, как легко убедиться, планирование является ортогональным. Поэтому МНК-оценки параметров j некоррелированны и имеют вид
,
при этом .
Пример 1. Полный двухфакторный эксперимент проводится на двух уровнях.
Переменные |
X1 |
X2 |
Нижний уровень |
64 |
45 |
Верхний уровень |
74 |
85 |
Получены результаты исследований: , , , .
Для нахождения МНК-оценок параметров ортогонального плана пользуются расчетной таблицей.
i |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
– 1 |
– 1 |
1 |
66 |
– 66 |
– 66 |
66 |
2 |
1 |
– 1 |
– 1 |
68 |
68 |
– 68 |
– 68 |
3 |
– 1 |
1 |
– 1 |
48 |
– 48 |
48 |
– 48 |
4 |
1 |
1 |
1 |
45 |
45 |
45 |
45 |
С помощью расчетной таблицы получаем требуемые оценки:
; ;
; .
Значит, оценка функции отклика есть
. (2)
Возвращаясь к исходным переменным, имеем:
, , , , значит, , . Подставляя найденные выражения в (2), получаем
.
Пример 2. Полный трехфакторный эксперимент проводится на двух уровнях.
Переменные |
X1 |
X2 |
X3 |
Нижний уровень |
12 |
17 |
26 |
Верхний уровень |
15 |
25 |
30 |
Результаты исследований: ; ; ; ; ; ; ; .
Составим расчетную таблицу для нахождения МНК‑оценок параметров ортогонального плана.
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
x1 |
–1 |
1 |
–1 |
1 |
–1 |
1 |
–1 |
1 |
x2 |
–1 |
–1 |
1 |
1 |
–1 |
–1 |
1 |
1 |
x3 |
–1 |
–1 |
–1 |
–1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
x1x2 |
1 |
–1 |
–1 |
1 |
1 |
–1 |
–1 |
1 |
x1x3 |
1 |
–1 |
1 |
–1 |
–1 |
1 |
–1 |
1 |
x2x3 |
1 |
1 |
–1 |
–1 |
–1 |
–1 |
1 |
1 |
x1x2x3 |
–1 |
1 |
1 |
–1 |
1 |
–1 |
–1 |
1 |
yi |
5,6 |
7,7 |
8,1 |
9,6 |
8,6 |
5,1 |
6,4 |
6,9 |
x1yi |
–5,6 |
7,7 |
–8,1 |
9,6 |
–8,6 |
5,1 |
–6,4 |
6,9 |
x2yi |
–5,6 |
–7,7 |
8,1 |
9,6 |
–8,6 |
–5,1 |
6,4 |
6,9 |
x3yi |
–5,6 |
–7,7 |
–8,1 |
–9,6 |
8,6 |
5,1 |
6,4 |
6,9 |
x1x2yi |
5,6 |
–7,7 |
–8,1 |
9,6 |
8,6 |
–5,1 |
–6,4 |
6,9 |
x1x3yi |
5,6 |
–7,7 |
8,1 |
–9,6 |
–8,6 |
5,1 |
–6,4 |
6,9 |
x2x3yi |
5,6 |
7,7 |
–8,1 |
–9,6 |
–8,6 |
–5,1 |
6,4 |
6,9 |
x1x2x3yi |
–5,6 |
7,7 |
8,1 |
–9,6 |
8,6 |
–5,1 |
–6,4 |
6,9 |
Используя расчетную таблицу, так же, как и в предыдущем примере, получаем требуемые оценки параметров: ; ; ; ; ; ; ; . Следовательно,
. (3)
Возвращаемся к исходным переменным.
; ; ; ; ; , значит, , , . Подставляя эти выражения в (3), получаем окончательно
3. Факторные эксперименты с повторными наблюдениями. Пусть – функция отклика, ; m, m, ..., m – спектр плана (число наблюдений в каждой точке xl одно и то же и равно m), mn N. Пусть xl (x1l, x2l, ..., xkl) и – повторные наблюдения в точке xl .
Матрицу плана можно представить в виде матрицы из m блоков следующим образом:
, где .
Таким образом, – матрица размеров с различными строками, – матрица размеров .
Определение. План называется полным факторным планом типа 2k с повторными наблюдениями кратности m, если матрица является матрицей полного факторного плана типа 2k.
Пример. Пусть – функция отклика и задан план: , , , , причем в каждой точке число наблюдений m 2. Тогда матрица плана записывается в виде:
, где .
Так как – матрица плана полного факторного эксперимента типа 22, то данный план является полным факторным планом с повторными наблюдениями кратности 2.
Матрица планирования имеет вид
и является матрицей ортогонального планирования.
Если – матрица планирования, соответствующая функции отклика и матрице плана , то из ортогональности планирования для МНК-оценки вектора β имеем равенство , в котором , , а значит, ( j 0, 1, ..., p). В этом случае оценки некоррелированны и имеют дисперсию .