- •7.09.08.03 - «Електронні системи»
- •1. Векторний аналіз
- •Основні рівняння электромагнитного поля
- •2. Основні характеристики середи
- •3. Повний електричний струм
- •4. Дивергенція щільності струму провідності (рівняння безперервності)
- •5. Безперервність повного струму
- •6. Основні характеристики поля
- •7. Рівняння електромагнітного поля Форми запису рівнянь Максвела
- •Інтегральні рівняння електромагнітного поля
- •Диференційні рівняння електромагнітного поля
- •Рівняння Максвела в комплексній формі записи
- •Повна система рівнянь електромагнітного поля
- •8. Граничні умови
- •9. Теорема умова - пойнтінга
- •10.Теорема умова - пойнтінга в комплексній формі
- •11. Теорема о єдиному рішенні рівнянь максвела
- •12. Запізнюючі або узагальнені електродінамічні потенціали
- •13. Окремі види електромагнітного поля
- •Визначення потенційних полів
- •14. Статичні поля
- •14.1. Рівняння електростатичного поля
- •14.2. Магнітностатичне поле
- •15. Стаціонарне поле
- •15.1. Рівняння стаціонарного поля
- •15.2. Енергія магнітного поля постійного струму. Власна і взаємна індуктивності.
- •15.3. Електричне поле постійного струму в провідному середовищі. Електричний опір.
- •15.4. Передача енергії стаціонарним полем
- •Аналогія між полями
9. Теорема умова - пойнтінга
Крім рівнянь Максвела, велике значення в теорії електромагнітного поля має теорема Умова-Пойнтінга. Вона описує енергетичні співвідношення в електромагнітному полі і має дві форми запису: перша - для миттєвих значень, друга - комплексна форма - для синусоїдальних величин.
Теорема Умова-Пойнтінга виражає закон збереження енергії в електромагнітному полі. Вона зв'язує зміну енергії в будь якому об’ємі з потоком її через поверхню, що обмежує цей об’єм. Енергія електромагнітного поля в об’ємі дорівнює:
і безперервно міняється в часі.
Зміна (збільшення) енергії в означеному об’ємі
Запишемо рівняння Максвела для середи з :
З цих рівнянь знайдемо
Тоді зміна енергії електромагнітного поля може бути виражена наступним чином:
З векторного аналізу відомо, що
Отже,
Позначимо векторний добуток
Його називають вектором Пойнтінга. Величина виражається в ватах на квадратний метр [Вт/м2].
По теоремі Остроградського
Отже,
(1.38)
Одержаний вираз носить назву теореми Умова-Пойнтінга: потік вектору Пойнтінга, який входить в замкнуту поверхню , дорівнює сумі двох потужностей, одна з яких , є потужністю теплових втрат всередині об’єму , обмеженого поверхнею , друга відповідає зміні енергії електромагнітного поля в тому же об’ємі.
Потужність теплових втрат завжди позитивна. Потужність відповідна зміні енергії електромагнітного поля, може бути і позитивною і негативною.
Якщо вона позитивна, то електромагнітна енергія всередині об’єму збільшується. В цьому випадку потік вектору , вхідний через поверхню , буде позитивним.
Рис. 11
Позитивна нормаль до замкнутої поверхні направлена в зовнішню сторону, отже, так же направлені і вектори . Тому для того, щоб потік вектору , вхідний через поверхню , був позитивним, вектор здебільшого повинен бути направлений всередину об’єму (кут між і здебільшого повинен бути тупим).
Вектор Пойнтінга можна визначити як величину, яка дорівнює енергії, що проходить в 1сек крізь поверхню, рівну 1м2 і перпендикулярну направленню .
Теорему Умова-Пойнтінга слідує трактувати як рівняння енергетичного балансу; ліва частина рівняння (1.38) є потужність або енергія в одиницю часу, що доставляється в виді потоку вектору Пойнтінга всередину деякого об’єму; права частина є енергія, що витрачається в одиницю часу всередині об’єму.
Якщо поле не змінюється в часі то і
При висновку теореми Умова-Пойнтінга ми припускали, що в об’ємі, обмеженому замкнутою поверхнею немає джерел енергії. Якщо в об’ємі такі джерела є, причому миттєва потужність джерел дорівнює , то теорему слід записати наступним чином:
Потужність джерел в об’ємі дорівнює сумі потужностей: потужності теплових втрат, потужності зміни енергії електромагнітного поля в об’ємі і потужності енергії, що проходить крізь граничну поверхню розглядуваного об’єму.
10.Теорема умова - пойнтінга в комплексній формі
Подібно тому як в ланцюзі змінного струму для обчислення повної потужності слід умножити комплекс напруги на сполучений комплекс струму , вводиться в вживання комплексний вектор Пойнтінгу
Замість тепер буде
У відповідності із
Отже, і
Тому
Перший доданок правої частини цього виразу подає активну потужність, друге - реактивну потужність. Таким чином теорема Умова-Пойнтінга може бути записана наступним чином