- •7.09.08.03 - «Електронні системи»
- •1. Векторний аналіз
- •Основні рівняння электромагнитного поля
- •2. Основні характеристики середи
- •3. Повний електричний струм
- •4. Дивергенція щільності струму провідності (рівняння безперервності)
- •5. Безперервність повного струму
- •6. Основні характеристики поля
- •7. Рівняння електромагнітного поля Форми запису рівнянь Максвела
- •Інтегральні рівняння електромагнітного поля
- •Диференційні рівняння електромагнітного поля
- •Рівняння Максвела в комплексній формі записи
- •Повна система рівнянь електромагнітного поля
- •8. Граничні умови
- •9. Теорема умова - пойнтінга
- •10.Теорема умова - пойнтінга в комплексній формі
- •11. Теорема о єдиному рішенні рівнянь максвела
- •12. Запізнюючі або узагальнені електродінамічні потенціали
- •13. Окремі види електромагнітного поля
- •Визначення потенційних полів
- •14. Статичні поля
- •14.1. Рівняння електростатичного поля
- •14.2. Магнітностатичне поле
- •15. Стаціонарне поле
- •15.1. Рівняння стаціонарного поля
- •15.2. Енергія магнітного поля постійного струму. Власна і взаємна індуктивності.
- •15.3. Електричне поле постійного струму в провідному середовищі. Електричний опір.
- •15.4. Передача енергії стаціонарним полем
- •Аналогія між полями
Рівняння Максвела в комплексній формі записи
Якщо проекції векторів поля і змінюються в часі по синусоїдальному закону, причому фази всіх трьох прямокутних проекцій однакові, тобто хвиля лінійно поляризована, то рівняння Максвела можна записати в комплексній формі. Нехай вектор напруженості електричного поля має проекції:
Комплексною амплітудою вектору назвемо вектор
Миттєве значення вектору .
Аналогічно можна записати комплексну амплітуду напруженості магнітного поля
І миттєве значення
Якщо в рівняння Максвела підставити замість і величини і , то отримане рішення буде більш загальним, бо воно буде справедливо не тільки для введених в рівняння фіктивних величин, але і для дійсних. При цьому запис рівнянь значно спроститься, бо скоротиться.
Розглянемо перше рівняння Максвела
Підставивши замість величину (фіктивна частина якої рівна ), а замість величину , отримаємо
Після скорочення на ми отримаємо перше рівняння Максвела в комплексній формі запису
Аналогічно можна отримати і інші рівняння електромагнітного поля в комплексній формі запису.
Друге рівняння Максвела
А також
Вирішивши ці рівняння і визначивши комплексні амплітуди і , легко знайти миттєві значення векторів поля з співвідношень:
Якщо вектори поля міняються в часі по косинусоїдальному закону, то в цьому випадку
Вигода комплексної форми запису основних рівнянь поля полягає в тому, що час t виключається з цих рівнянь.
Повна система рівнянь електромагнітного поля
Отже, ми маємо наступну систему диференційних рівнянь електромагнітного поля, що дадуть просторово - тимчасовий опис електромагнітного процесу:
Електромагнітне поле визначається чотирма векторами: .
Для серед з постійною проникливістю ці вектори зв'язані співвідношеннями:
Тому при розрахунку достатньо визначити тільки два вектору.
Звичайно визначають вектори і з рівнянь Максвела
;
Однак для однозначності визначення і цих рівнянь недостатньо, вектор по заданому ротору однозначно не визначається, тому слід задати ще і дивергенцію векторів і . З теореми Гауса в диференційній формі
При постійному значенні ,
Основна якість магнітного поля - його соленоїдальність ( ) дозволить визначити дивергенцію вектору . При постійному значенні
Отже, повна система рівнянь електромагнітного поля для серед з постійними параметрами
Запишеться наступним чином:
;
;
Ці рівняння подають собою основні рівняння електромагнітного поля для нерухомих серед.
При рішенні конкретних задач повинні бути враховані початкові і граничні умови Наприклад, в момент t=0 повинні бути задані значення векторів і в усіх точках об’єму V, в якому досліджується поле; крім того, повинні бути відомі значення цих векторів на граничній поверхні S на протязі усього проміжку часу від 0 до t.
Фізичний зміст основних рівнянь електромагнітного поля полягає в тому, що магнітне поле завжди вихрове і збуджується воно як зарядами, що рухаються, так і електричним полем, що змінюється в часі. Електричне поле може бути вихровим, в цьому випадку воно збуджується магнітним полем, що змінюється в часі і безвихровим (якщо воно збуджується постійними в часі електричними зарядами).
Електричне і магнітне поле взаємозв’язані, вони подають собою різні вияви єдиного електромагнітного поля, що знаходиться в русі і несе з собою запас енергії: