- •7.09.08.03 - «Електронні системи»
- •1. Векторний аналіз
- •Основні рівняння электромагнитного поля
- •2. Основні характеристики середи
- •3. Повний електричний струм
- •4. Дивергенція щільності струму провідності (рівняння безперервності)
- •5. Безперервність повного струму
- •6. Основні характеристики поля
- •7. Рівняння електромагнітного поля Форми запису рівнянь Максвела
- •Інтегральні рівняння електромагнітного поля
- •Диференційні рівняння електромагнітного поля
- •Рівняння Максвела в комплексній формі записи
- •Повна система рівнянь електромагнітного поля
- •8. Граничні умови
- •9. Теорема умова - пойнтінга
- •10.Теорема умова - пойнтінга в комплексній формі
- •11. Теорема о єдиному рішенні рівнянь максвела
- •12. Запізнюючі або узагальнені електродінамічні потенціали
- •13. Окремі види електромагнітного поля
- •Визначення потенційних полів
- •14. Статичні поля
- •14.1. Рівняння електростатичного поля
- •14.2. Магнітностатичне поле
- •15. Стаціонарне поле
- •15.1. Рівняння стаціонарного поля
- •15.2. Енергія магнітного поля постійного струму. Власна і взаємна індуктивності.
- •15.3. Електричне поле постійного струму в провідному середовищі. Електричний опір.
- •15.4. Передача енергії стаціонарним полем
- •Аналогія між полями
11. Теорема о єдиному рішенні рівнянь максвела
Покажемо, що якщо при вирішенні рівнянь Максвела для певних початкових і граничних умов одержані значення векторів поля і , то це рішення єдине.
Припустимо, що електромагнітне поле досліджується в певній області простору , що обмежена замкнутою поверхнею . Параметри постійні.
Початкові і граничні умови задані наступним чином. В момент вектори і задані в усіх точках області . На поверхні відомі дотичні складові одного з векторів поля (припустимо ) для всіх моментів часу від 0 до t.
Тоді рівняння Максвела однозначно визначають вектори і в будь-якій точці області і в будь-який момент t.
Припустимо противне, тобто, що існує друге рішення рівнянь Максвела, причому вектори поля і задовольняють перерахованим вище початковим і граничним умовам
Розглянемо два нових вектори
Очевидно, що і також є рішенням рівнянь Максвела, але початкові і граничні умови для них будуть дещо іншими. При в усіх точках області вектори і повинні дорівнювати нулю, бо в цей момент і . На поверхні у всі моменти часу від 0 до t дотична складова вектору також повинна бути рівною нулю. Отже, вектор може мати на поверхні тільки нормальну складову.
Застосуємо до поля векторів і теорему Умова-Пойнтінга
На поверхні добуток
бо в будь-якій точці граничної поверхні напрям співпадає з нормаллю. Теорема Умова-Пойнтінга прийме вигляд
Перший доданок цього виразу дорівнює потужності теплових втрат і може бути тільки величиною позитивною або рівною нулю
Тоді повинна бути або негативною величиною (якщо зменшується), або рівною нулю (якщо ).
Згідно початковим умовам в момент в усіх точках розглядуваної області вектори поля є рівними нулю: .
Отже
Енергія негативних значень приймати не може, тому вона повинна залишатися постійно рівною нулю. Отже, вектори в будь-який момент і в будь-якій точці області . Це означає, що , тобто . Друге рішення співпадає з першим.
12. Запізнюючі або узагальнені електродінамічні потенціали
Для визначення векторів і по завданим зарядам і струмам необхідно вирішити повну систему рівнянь Максвела:
Будемо рахувати, що параметри середи постійні і задані, вектори і задані, величини і залежать від трьох просторових координат і часу.
Безпосереднє рішення рівнянь Максвела звичайно зв'язане з великими труднощами. Задачу можна спростити, якщо ввести допоміжні функції і просторових координат і часу, які називають узагальненими електродинамічними потенціалами. Визначивши їх, можна знайти вектори поля і .
Залежність між і , а також між і , встановлюється таким чином, щоб основні рівняння поля прийняли найбільш зручний для рішення вигляд. Покладемо,
,
що можливо, бо магнітна індукція - соленоїдальний вектор:
.
Для однозначного визначення вектору треба задати ще і його дивергенцію, яку підберемо пізніше і так, щоб спростити одержані вирази. Вектор будемо називати узагальненим векторним потенціалом.
Виразимо напруженість магнітного поля через векторний потенціал
.
Підставимо значення в друге рівняння Максвела
.
Замінивши послідовність диференціювання і скоротивши на , отримаємо
.
Або
Якщо ротор вектору дорівнює нулю, то він - потенційний вектор і можна знайти таку скалярну функцію , для якої цей вектор слугує градієнтом:
.
Величину назвемо узагальненим скалярним потенціалом.
Рівняннями
.
.
ми зв'язали вектори поля і з узагальненими потенціалами і .
Для визначення і використаємо інші рівняння електромагнітного поля.
Перше рівняння Максвела можна записати наступним чином:
.
Або
.
Позначимо і розгорнемо вираз ротора від ротора:
.
Або
Можна вибрати так, щоб рівняння спростилось. Приймемо:
.
Тоді векторний потенціал визначиться з рівняння
.
Якщо записати це векторне рівняння в прямокутній декартовій системі координат, то рахуючи, що
одержуємо три рівняння Даламбера для проекцій векторного потенціалу:
.
.
.
Якщо в рівняння підставити , то отримаємо:
,
,
.
Підставивши вираз , отримаємо:
.
Для визначення скалярного потенціалу, також слід вирішити рівняння Даламбера.
Ввівши узагальнені потенціали і , ми звели рівняння Максвела до чотирьох однакових рівнянь Даламбера і цим значно спростили завдання розрахунку електромагнітного поля. Отримавши узагальнені електродинамічні потенціали і , можно легко визначити вектори поля і .
Рішення рівнянь Даламбера можна записати в вигляді інтегралів
Щоб знайти скалярний потенціал в точці в момент , треба розбити об’єм на елементи , підрахувати заряд цих елементарних об’ємів
В момент (де - відстань від елемента об’єму до точки , а - швидкість розповсюдження електромагнітної енергії в діелектрикові з проникливостями .
Поділивши цей заряд на і взявши інтеграл по всім елементарним об’ємам , в яких є заряд з щільністю , ми отримаємо скалярний потенціал в даній точці в момент .
Аналогічно визначаються і проекції векторного потенціалу. Важливо відзначити, що зміна вільних об'ємних зарядів і струмів провідності в різноманітних точках поля відбивається не миттєво, а через деякий час , необхідний для того, щоб електромагнітна хвиля минула відстань . Тому потенціали і називаються запізнюючими.
В тих областях поля, в яких немає об'ємних зарядів і струмів провідності рівняння, що визначають узагальнені потенціали приймуть вид:
.
.
Ці співвідношення називаються хвильовими рівняннями При рішенні рівнянь Даламбера і хвильових рівнянь повинні бути враховані початкові і граничні умови для кожної конкретної задачі.