17

Основные сведения из теории вероятностей

Случайные события и вероятность

1 Понятие вероятности

Все основные понятия теории вероятностей можно пояснить на простом примере, имеющем в статистической физике и самостоятельный интерес. Рассмотрим молекулу А, хаотически перемещающуюся внутри сосуда, который имеет форму ящика (рис.1.1).

Случайным событием называют явление, которое в опыте, поставленном для его наблюдения, либо имеет, либо не имеет места. Так , например, попадание молекулы А в некоторый момент времени в выделенный внутри ящика объем  (рис.1.1) является случайным событием. Если бы молекулу А можно было сфотографировать, то на снимке она оказалась бы либо в , и тогда рассматриваемое событие имело место, либо вне , и тогда событие места не имело. Эксперимент по наблюдению случайного события называют испытанием.

Обычно под вероятностью некоторого случайного события понимают отношение числа испытаний m, при которых данное событие имело место, к полному числу М проведенных испытаний при условии, что число М достаточно велико. Если вероятность того, что событие А произойдет, обозначить W(A), то

W(A) = m/M или иначе W(A) =

Почему же накладывается требование, чтобы число М испытаний было достаточно велико? И насколько велико оно должно быть? То, что необходимо большое М, ясно уже из соображений точности определения значения вероятности. Допустим, что мы фотографировали молекулу в ящике и остановились после того, как получился первый снимок, указавший на попадание молекулы внутрь . Если общее число фотографий оказалось при этом 127, то было бы преждевременным сделать заключение, что W(A) = 1/127. Действительно, сделав еще 60 фотографий, мы могли бы, например, получить, что интересующее нас событие в дополнительных испытаниях не имело места ни одного раза и, следовательно, по новым измерениям вероятность равна 1/187. Для получения достаточно точного результата следует вести испытания до тех пор, пока отношения m/M не будут отличаться друг от друга на малые величины, определяемые той точностью, с которой желательно знать вероятность события А. Строго говоря, поскольку событие А наступает случайно, нельзя исключить из рассмотрения случай, в котором отношение m/M, полученное экспериментально, не дает правильного значения вероятности. Хотя такие случаи принципиально возможны, но они представляют собой очень маловероятные события и вероятность их тем меньше, чем больше число испытаний.

Нетривиальным является и вопрос о том, как проводятся испытания. Действительно, в примере с молекулой в ящике мы фотографируем последовательно в разные моменты времени. Легко видеть, что эти моменты должны быть разделены достаточно большими промежутками. Если серия снимков следует с очень большой скоростью, то за время их выполнения молекула не успевает сместиться на заметное расстояние и, составляя отношение m/M на основании такой серии, мы неизбежно придем к неправильному результату. Интервалы между фотографированиями должны быть, например, такими, чтобы молекула успела переместиться в любую другую точку ящика. С экспериментальной точки зрения критерий правильности выбора интервала между снимками состоит в том, что повторные серии испытаний с увеличенными против первоначальных интервалами времени приводят к тем же самым предельным значениям m/M.

Во втором способе постановки опыта изготавливается М одинаковых ящиков и в каждом из них находится молекула того же вида А. В определенный момент времени одновременно фотографируются все молекулы и значение отношения m/M устанавливается анализом снимков различных ящиков. Совокупность одинаковых систем, используемых для изучения вероятностных характеристик, называется ансамблем. Таким образом, для определения вероятности можно было использовать ансамбль ящиков с молекулами.

Оба способа приводят к одинаковым результатам, если только в первом выдержано условие об интервалах времени между испытаниями, а во втором все системы ансамбля действительно строго идентичны.

Из определения вероятности следует, что ее значения заключены между 0 и 1. Действительно, m и М - положительные числа и, кроме того, минимально возможное значение m равно 0, а максимально возможное - полному числу испытаний М. Событие, которое имеет место в каждом испытании и вероятность которого поэтому равна единице, называется достоверным. Примером может служить событие, состоящее в обнаружении молекулы А, заведомо помещенной в ящик, где-то внутри него. Естественно, что на каждой фотографии всего ящика молекула А будет обнаружена, т.е. это событие имеет место в каждом испытании и, следовательно, достоверно. В противоположном случае, когда событие не имеет места ни в одном испытании и, следовательно, вероятность его равна нулю, оно называется невозможным. В качестве примера можно привести событие, состоящее в том, что молекула А не будет обнаружена в ящике: если молекула находится внутри, то такое событие невозможно.