3 Независимые события

В вычислениях, которые приходится проводить с вероятностями, часто используется свойство независимости случайных событий. События называются независимыми, если осуществление одного из них не влияет на вероятность осуществления второго. Рассмотрим пример. Пусть первое событие состоит в том, что в объем ₁ в момент t попадает молекула А, а второе событие - в том, что в тот же момент времени в объем ₂ попадает другая молекула В. Если независимо от того, попала молекула А в ₁ или нет, вероятность попадания молекулы в ₂ равна одной и той же величине ₂/V, то события независимы. Так, например, будет, если молекулы не взаимодействуют между собой. В этом случае даже при совпадении объемов ₁ и ₂ события независимы. Однако наличие взаимодействия изменяет это положение. Так, при взаимном отталкивании молекул вероятность появлении молекулы В в объеме ₁ одновременно с А меньше, чем при отсутствии А. Реально все молекулы взаимодействуют между собой, но силы взаимодействия очень быстро убывают с увеличением расстояния между ними, так что на расстояниях порядка нескольких диаметров молекул взаимодействием можно полностью пренебречь. Это позволяет при малых концентрациях (газы), когда среднее расстояние между молекулами много больше, чем их диаметр, считать, что события, рассмотренные в приведенном выше примере, независимы. При больших концентрациях (сильно сжатые газы, жидкости) это уже не так.

Вероятность совместного осуществления независимых событий равна произведению вероятностей каждого из них.

Для пояснения этого свойства рассмотрим разреженный газ. Пусть при n испытаниях оказалось, что молекула А была m₁ раз в объеме ₁, а молекула В - m₂ раз в объеме ₂, т.е.

W(A) = m₁/n и W(B) = m₂/n.

Из всех тех испытаний общим числом m₁ при которых А попала в ₁, отберем те, в которых еще и В попала в ₂. Поскольку вероятность, с которой случается событие В, равна m₂/n, то число отобранных событий должно быть равно m₁(m₂/n). Если отнести теперь найденное число событий к общему числу испытаний, то вероятность совместного осуществления событий А и В

.

Эта формула есть математическая запись сформулированного выше положения.

Условная вероятность

Возникает вопрос: каким образом можно определить вероятность совместного осуществления двух зависимых событий? Для его решения вновь обратимся к примеру. В качестве события 1 выберем попадание молекулы А в момент t в объем ₁, а в качестве события 2 - попадание этой же молекулы в тот же момент t в объем ₂. Эти события зависимы. Пусть, например, объемы ₁ и ₂ не пересекаются, т.е. события 1 и 2 несовместимы, тогда если молекула оказалась в ₁, то она, естественно, не могла в тот же момент времени находиться в ₂. Таким образом, если вероятность события 2 есть ₂/V, то эта же вероятность при условии, что имеет место 1, равна 0. Изменение значения вероятности события 2 из-за осуществления события 1 и означает зависимость этих событий в вероятностном смысле.

В более общем случае произвольно пересекающихся объемов ₁ и ₂ события 1 и 2 тоже зависимы. Чтобы убедиться в этом, рассчитаем, как изменится вероятность события 2 при условии, что совершилось событие 1. Осуществление события 1 означает, что молекула попала в объем ₁ и поэтому его можно рассматривать как новый сосуд, содержащий молекулу. Вероятность обнаружения молекулы в тот же момент времени в ₂ есть вероятность того, что она окажется в объеме , являющемся общей частью ₁ и ₂ (см. рис.1.2, б). Эта вероятность равна отношению  к объему «нового сосуда» ₁. Таким образом, вероятность W(2) события 2 без условия 1 или, как говорят, безусловная вероятность имеет значение

W(2) = ₂/V,

а условная вероятность W₁(2) есть вероятность события 2 при условии, что имело место событие 1, и в данном случае она равна

W₁(2) = /₁.

Ясно, что в общем случае условная и безусловная вероятности не совпадают по величине, что и означает зависимость событий между собой. Для независимых событий условная вероятность равна безусловной.

Теперь можно сформулировать почти очевидное правило. Вероятность W(1, 2) совместного осуществления двух событий 1 и 2 равна вероятности W(1) события 1, умноженной на условную вероятность W₁(2), или вероятности W(2) события 2, умноженной на условную вероятность W₂(1). Математически это записывается следующим образом:

W(1, 2) = W(1)W₁(2) = W(2)W₂(1).

Проиллюстрируем это правило на примере с двумя пересекающимися объемами. Вероятность W(1, 2) = /V. Эту формулу можно представить в виде:

,

что полностью соответствует сделанным выше общим утверждениям.