5 Биномиальное распределение вероятностей

Приведенные сведения позволяют решать многие задачи статистической физики. В настоящем разделе будет рассмотрена одна из них, имеющая большое значение как с прикладной точки зрения, так и с точки зрения развития самой теории вероятностей.

Предположим, что в сосуде находится газ с общим числом молекул, равным N. Выделим мысленно часть объема сосуда  и определим, какова вероятность нахождения n молекул в . Обозначим вероятность попадания одной молекулы в объем  как W = /V, где V объем сосуда. Можно показать, что

(5.1)

Действительно, вероятность того, что n определенных молекул окажется в объеме , а остальные N - n молекул вне его, равна

. (5.2)

Число подобных событий, отличающихся друг от друга тем, какие именно n молекул из общего числа N находятся в , равно числу сочетаний из N по n, т.е.

. (5.3)

Таким образом, суммирование вероятностей всех событий, в которых в  оказалось n молекул, т.е. умножение (5.2) на (5.3), приводит к общей формуле (5.1).

В виде примера рассмотрим распределение двадцати молекул в сосуде, мысленно разделенном на две равные части, т.е. при  = V/2. Рассчитав биномиальные коэффициенты, можно получить результаты, графически представленные на рис.1.6, где точками обозначены соответствующие значения вероятностей. Видно, что событие, обладающее наибольшей вероятностью, состоит в том, что число n оказывается равным 10, т.е. что в половине сосуда окажется половина полного числа молекул. Отсутствие молекул (n = 0), или их полное собрание (n = 20) значительно менее вероятны и поэтому наблюдаются гораздо реже (примерно в 200000 раз).

Биномиальное распределение используется при решении очень многих задач, а не только в рассмотренном выше примере. Действительно, пусть известна вероятность W того, что молекула обладает каким-то признаком (например, скоростью в диапазоне от 100 до 150 м/с или тем, что она прошла без столкновений с другими молекулами путь, больший 1 мм, и т.п.). Спрашивается, какова вероятность того, что n молекул из общего числа N обладают этим признаком? Если соответствующие события для различных молекул независимы и их вероятность равна W, то ответ дается биномиальным распределением (5.1). Чтобы убедиться в справедливости этого вывода, достаточно учесть, что конкретное содержание приведенной выше задачи было использовано только при нахождении значения вероятности W = /V обладания определенным признаком (попаданием в  в момент t). Все остальные рассуждения не зависят от того, какой именно признак имеется в виду.

События, в которых число молекул, попавших в , равно 0, 1, 2, ..., несовместимы и образуют полную группу. Сумма вероятностей этих событий должна равняться единице. Легко убедиться в этом с помощью использования формулы бинома Ньютона:

Связь вероятностей с формулой бинома Ньютона послужила основанием для того, чтобы зависимость W(n) от числа молекул n получила название биномиального распределения вероятностей.

Рис.1.6. Распределение вероятности наличия в определенный момент времени в определенной половине сосуда n молекул из 20 (второй из графиков представлен в логарифмическом масштабе, дающем более точную информацию в случае значительного изменения величин, отложенных по осям).