9 Распределение Пуассона

Ранее говорилось о том, что использование биномиального распределения для вычисления вероятностей при больших значениях общего числа молекул N неудобно, и была получена формула Стирлинга, облегчающая вычисление факториалов больших чисел. Используя формулу Стирлинга можно упростить биномиальное распределение и свести его к другим, более удобным для вычислений.

В настоящем разделе рассматривается случай, когда при большом значении числа N основной интерес представляют малые значения числа молекул n в объеме , т.е. предполагается, что большие значения n настолько маловероятны, что ими можно пренебречь. Пусть, например, в сосуде находится N молекул, где N порядка 10¹⁹, и выделен объем , настолько малый по сравнению с общим объемом сосуда V, что в нем может встретится n = 0, 1, 2, 3 молекулы и очень маловероятно, что число молекул превысит, скажем, n = 10. Для этого объем должен быть таким, чтобы среднее число молекул в нем, равное , было много меньше выбранного нами предельного числа n = 10, например . Конечно, число 3 выбрано произвольно и с тем же успехом могло быть заменено любым другим достаточно малым по сравнению с общим числом молекул N, однако, при относительно больших удобнее пользоваться другой аппроксимацией биномиального распределения, которая будет приведена в следующем разделе и которая заведомо непригодна при малых значениях (при ).

После преобразований, с помощью формулы Стирлинга

из формулы для биномиального распределения

в приближении N

можно получить

(9.3)

Формула (9.3) носит название распределения Пуассона. Она определяет вероятность того, что в  окажется n молекул (при среднем значении числа молекул в , равном ), и справедлива, если общее число молекул в сосуде много больше, чем .

На рисунке приведены результаты расчета по формуле (9.3).

Поскольку распределение Пуассона есть предельный случай биномиального при  N, или, иначе, при , то дисперсия случайной величины, подчиняющейся распределению Пуассона, получается таким же предельным переходом, т.е. оказывается равной среднему значению числа n:

10 Распределение Гаусса

Другая полезная аппроксимация может быть использована, когда велико не только общее число молекул N, но и число молекул n в элементе объема , а также число молекул N-n, оставшихся вне этого объема. Такой случай очень часто реализуется на практике, так как для того, чтобы он имел место, достаточно, если среднее число молекул в элементе 

велико, но не слишком близко к полному их числу N, т.е. объем  должен быть не слишком мал по сравнению с V, но и не слишком близок к полному объему. Распределение Гаусса оказывается уже достаточно точным, если и N больше 3, и его точность тем выше, чем больше и N .

Вероятность того, что в элементе объема  окажется n частиц, при условии, что среднее число частиц в  и среднее число частиц N вне этого объема достаточно велики, дается формулой, носящей название распределения Гаусса и имеющей следующий вид:

(10.2)

Чаще всего распределение Гаусса (10.2) применяется, когда число молекул в  очень велико. На практике почти никогда не требуется знать, какова вероятность наличия в  ровно n молекул, а обычно интересуются вероятностью W того, что число молекул заключено в интервале значений от n до n+n. Если величина n достаточно мала (много меньше, чем ), то вероятность W(n), подсчитанная по (10.2) для любого n из интервала n, оказывается практически одной и той же. В связи с этим вероятность W получается умножением вероятности W(n), взятой для какого-то (все равно какого) значения n из рассматриваемого интервала, на величину интервала n, т.е.

(10.3)

Формула (10.3) показывает, что при большом числе молекул переменная n может считаться непрерывной случайной величиной и вероятность того, что ее значения заключены между n и n+n, определяется формулой (10.3), т.е. соответствующая плотность вероятности равна

(10.4)

Если необходимо определить вероятность W того, что n заключено в интервале от n₁ до n₂, и интервал не предполагается малым по сравнению с , то необходимо учитывать изменение плотности вероятности в этом интервале и использовать правило, обычное для непрерывных случайных величин:

Точно так же при определении среднего значения функции f(n) от числа молекул n следует воспользоваться правилом вычисления средних значений, справедливым для непрерывных случайных величин:

Пределы в последнем интеграле по смыслу переменной n не могут быть меньше 0 и больше N, однако поскольку с самого начала предполагалось, что большие отклонения n от среднего значения маловероятны и при больших это действительно так, то без ущерба для точности вычислений можно заменить эти пределы соответственно на минус и плюс бесконечность, так что окончательно

Следует отметить, что распределение Гаусса часто встречается на практике и описывает поведение очень многих непрерывных случайных величин, т.е. оно справедливо не только для рассмотренного выше случая, но и в целом ряде других. На это имеются свои причины. Дело в том, что при большом числе испытаний распределение Гаусса оказывается предельным для целого ряда распределений. Существует теорема, называемая в силу ее важности центральной предельной теоремой теории вероятностей, которая устанавливает весьма общие условия, достаточные для того, чтобы предельное распределение было гауссовым, или, как его называют иначе, нормальным. Широкое распространение нормального закона распределения вероятностей дало повод для шутливого замечания, что физики считают повсеместное распространение нормального закона математической теоремой, а математики - экспериментально установленным фактом. Необходимо, конечно, иметь в виду, что распределение Гаусса хотя и встречается часто, но не является единственно возможным.

На рисунке представлены результаты расчета по формуле (10.4). Видим, как резко падает вероятность отклонения от среднего при увеличении среднего количества молекул.

Центральная предельная теорема теории вероятностей

Содержание группы теорем, объединяемых общим названием «центральная предельная теорема», состоит в том, что при весьма общих условиях закон распределения суммы большого числа независимых случайных величин близок к нормальному.

Обоснование роли нормального закона.

Допустим, что производится измерение какой-либо физической величины. На результат измерения влияет огромное количество случайных факторов, таких, как колебание атмосферных условий, сотрясения измерительного прибора, усталость наблюдателя и т.п. Каждый из этих факторов, взятый в отдельности, порождает ничтожную ошибку в измерении данной величины. Результирующая ошибка будет, следовательно, суммой огромного числа малых случайных величин нам неизвестен, тем не менее можно уверенно заключить, что вся сумма будет иметь закон распределения, близкий к нормальному.

В полном соответствии со сказанным выше при математической обработке результатов измерений исходят из следующего постулата: случайная ошибка измерения подчиняется нормальному закону распределения. Из двух параметров этого закона один, а именно математическое ожидание, равен нулю. Второй параметр - среднее квадратичное отклонение - характеризует в известном смысле точность измерений.

Другой важный пример, иллюстрирующий роль нормального распределения в приложениях теории вероятностей, дает массовое производство, существующее во многих отраслях современной промышленности. В процессе массового производства изготовляются большие партии однотипных изделий. Все наиболее существенные характеристики выпускаемых изделий должны, естественно, соответствовать определенному стандарту. Однако в действительности наблюдаются отклонения от стандарта, которые порождаются причинами случайного характера (следует учесть, что выпуск изделия связан, как правило, с большим числом операций, некоторые из них не могут быть выполнены абсолютно точно). Каждая из этих причин сама по себе порождает лишь ничтожную ошибку, но, складываясь, такие ошибки могут давать вполне ощутимые отклонения от стандарта. И здесь, так же как в случае ошибок измерений, имеются все основания считать, что суммарное отклонение от стандарта следует нормальному распределению.

Подобных примеров можно привести очень много из самых различных областей науки и техники. Они объясняют, почему нормальный закон так часто возникает в задачах прикладного характера.

1 - =100000

2 - =30000

3 - =10000

Дисперсия рассчитана по формуле (8.8):