6 Формула Стирлинга

При решении статистических задач приходится иметь дело с громадным числом молекул, поэтому использование биномиального распределения оказывается неудобным из-за необходимости вычислять факториалы от очень больших чисел. Формула Стирлинга позволяет приближенно вычислить такие факториалы:

При увеличении N относительная погрешность вычислений по этой формуле быстро уменьшается и уже при N5 составляет менее 1%.

Случайные величины и их характеристики

7 Случайная величина

В приложениях теории вероятностей к вопросам статистической физики приходится оперировать представлением о случайной величине. Величина, которая может принимать различные числовые значения с определенной вероятностью, называется случайной. Например, число молекул в элементе объема , выделенном в сосуде объема V, представляет собой случайную величину, которая может принимать значения 0, 1, 2, ..., N и каждое из этих значений реализуется с определенной вероятностью W(n), определяемой формулой (5.1) биномиального распределения. Такая случайная величина носит название дискретной, так как она принимает значения, отличающиеся друг от друга на конечную величину (в данном примере - целочисленные значения 0, 1, 2, ..., N).

Встречаются и непрерывные случайные величины, которые принимают непрерывный ряд значений. Пожалуй, простейшим примером непрерывной случайной величины может служить координата молекулы А в сосуде V. Поместим начало координат в одном из углов прямоугольного сосуда так, как это показано на рис. 2.1. Тогда координата молекулы z_A вдоль оси z может принимать любые значения в интервале от z = 0 до z = a, где а - размер сосуда в направлении оси z.

Для непрерывной случайной величины неправильно интересоваться вероятностью данного ее значения. Правильная постановка вопроса состоит в том, чтобы выяснить, какова вероятность того, что случайная величина приняла значение, лежащее в интервале от z до z + dz. Если интервал dz бесконечно мал, то бесконечно мала и соответствующая вероятность dW, которая, следовательно, должна быть пропорциональна интервалу dz. Для искомой вероятности можно написать следующее выражение:

dW = w(z) dz

где w(z) - некоторая функция, называемая плотностью вероятности. Ее размерность обратна размерности случайной величины z, поскольку вероятность dW есть величина безразмерная. Таким образом, плотность вероятности для некоторой случайной величины, значения которой обозначены z, есть такая функция w(z), которая будучи умножена на dz, дает вероятность того, что значение случайной величины лежит в интервале от z до z + dz. Если интервал dz равен нулю, то равна нулю и соответствующая вероятность, поэтому не имеет смысла интересоваться вероятностью отдельного значения непрерывной случайной величины.

Обратимся к примеру, в котором непрерывной случайной величиной является координата z молекулы А. Необходимо найти плотность вероятности для этой случайной величины. Координата молекулы попадает в интервал dz, если, как это видно из рис. 2.1, сама молекула оказывается в объеме d, ограниченном двумя плоскостями, проведенными через точки z и z + dz перпендикулярно оси z. Обозначим площадь основания сосуда S, тогда объем d = S dz. Поскольку объем всего сосуда V = aS, то для вероятности получается

Из последнего равенства видно, что плотность вероятности для координаты молекулы w(z) = 1/a.

То, что плотность вероятности оказалась постоянной величиной, связано с конкретными особенностями данной задачи, в которой сосуд прямоуголен и все положения молекулы А внутри сосуда считаются равновозможными. Если бы сосуд был помещен в поле действия каких-то внешних сил (например, учитывалось бы действие силы тяжести) или обладал не прямоугольной, а какой-то другой формой, то плотность вероятности не была бы постоянной величиной.

Часто приходится иметь дело со случайными векторными величинами, т.е. с векторами, имеющими различную длину и направление, которые они принимают с определенной вероятностью. Простейшим примером векторной случайной величины является радиус-вектор молекулы А, помещенной в сосуд объема V. Введем декартову систему координат, по осям которой отложим компоненты x_A, y_A, z_A случайного вектора r_A, и построим около точек x, y, z бесконечно малый прямоугольный объем

d = dxdydz (рис.2.3).

Какова вероятность того, что конец вектора r_A окажется внутри выделенного объема d? Поскольку объем бесконечно мал, то вероятность dW должна быть ему пропорциональна, т.е.

dW = w(x, y, z) d (7.2)

Величина w, вообще говоря, зависящая от координат x, y, z, носит название плотности вероятности векторной случайной величины r.

Таким образом, произведение плотности вероятности w векторной случайной величины на элемент объема d дает вероятность того, что конец вектора r окажется внутри d, или, иначе, что одновременно выполняются следующие условия: х-, у-, и z-компоненты r заключены в интервалах от х до х + dx, от y до y + dy, от z до z + dz соответственно.

В рассматриваемом примере плотность вероятности w равна обратной величине объема сосуда. Действительно, вероятность попадания молекулы А в элемент объема d, т.е. вероятность того, что конец ее радиус-вектора окажется в этом элементе, равна

dW = d/V. Отсюда можно заключить, что

w = 1/ V. (7.3)

Если компоненты случайного вектора независимы, то в этом важном частном плотность вероятности w(x, y, z) представляется в виде произведения трех плотностей вероятности:

w(x, y, z) d = w_x(x)dx  w_y(y)dy  w_z(z)dz, (7.4)

так что вероятность попадания компоненты x в интервал dx равна w_x(x)dx и не зависит от того, какие значения принимают другие компоненты.

Формула (7.4) имеет простой вероятностный смысл и означает, что вероятность того, что вектор r окажется в d, равна произведению вероятностей трех независимых событий, а именно того, что компонента х попадет в интервал dx, компонента у - в dy, а z - в dz.