- •7.09.08.03 - «Електронні системи»
- •1. Векторний аналіз
- •Основні рівняння электромагнитного поля
- •2. Основні характеристики середи
- •3. Повний електричний струм
- •4. Дивергенція щільності струму провідності (рівняння безперервності)
- •5. Безперервність повного струму
- •6. Основні характеристики поля
- •7. Рівняння електромагнітного поля Форми запису рівнянь Максвела
- •Інтегральні рівняння електромагнітного поля
- •Диференційні рівняння електромагнітного поля
- •Рівняння Максвела в комплексній формі записи
- •Повна система рівнянь електромагнітного поля
- •8. Граничні умови
- •9. Теорема умова - пойнтінга
- •10.Теорема умова - пойнтінга в комплексній формі
- •11. Теорема о єдиному рішенні рівнянь максвела
- •12. Запізнюючі або узагальнені електродінамічні потенціали
- •13. Окремі види електромагнітного поля
- •Визначення потенційних полів
- •14. Статичні поля
- •14.1. Рівняння електростатичного поля
- •14.2. Магнітностатичне поле
- •15. Стаціонарне поле
- •15.1. Рівняння стаціонарного поля
- •15.2. Енергія магнітного поля постійного струму. Власна і взаємна індуктивності.
- •15.3. Електричне поле постійного струму в провідному середовищі. Електричний опір.
- •15.4. Передача енергії стаціонарним полем
- •Аналогія між полями
Диференційні рівняння електромагнітного поля
Перше рівняння Максвела подає собою диференційну форму закону повного струму:
Перетворив згідно теоремі Стокса циркуляцію вектору , отримаємо
Тоді можна записати рівність
Якщо ця рівність справедлива для всіх значень межі інтегрування S, то функції під інтегралами рівні і
Це рівняння називається першим рівнянням Максвела.
Якщо щільність повного струму дорівнює сумі щільності струму провідності і щільності струму зміщення , то перше рівняння Максвела прийме вигляд:
Для середи з постійною діелектричної проникливості
Фізичний зміст цього рівняння полягає у ствердженні, що вихрове магнітне поле збуджується як струмами провідності, так і електричним полем, що змінюється в часі.
Для ідеальних діелектриків з провідністю одержимо:
Перше рівняння Максвела встановлює залежність між зміною в часі напруженості електричного поля і зміною в просторі напруженості магнітного поля і вказує на те, що електромагнітне поле завжди знаходиться в русі.
Відомо, що дивергенція ротора дорівнює нулю , тому і . Як було показано вище, ця умова завжди виконується.
Друге рівняння Максвела подає собою диференційну форму закону електромагнітної індукції, згідно якому в витку при зміні зчепленого з ним магнітного потоку Ф наводиться Е.Р.С., яка дорівнює
Максвел узагальнив цей закон, вказавши, що магнітний потік, який змінюється в часі, збуджує електричне поле і за відсутності витка.
У полі з індукцією В магнітний потік скрізь довільну поверхню S, обмежену контуром L, дорівнює:
Якщо напруженість електричного поля позначити , то наведена в контурі Е.Р.С.
Будемо рахувати, що поверхня S і контур L нерухомі і не деформуються, тоді
Позитивний напрям обходу контуру L і позитивне направлення нормалі до поверхні S обираються так, щоб вони утворили правогвинтову систему.
Поодинокі похідні введені тому, що Е.Р.С. може з’являтися не тільки за рахунок зміни магнітного потоку в часі, але і за рахунок руху або деформації контуру.
З теореми Стокса можна перетворити циркуляцію
Отже,
Рівність інтегралів справедлива для будь-якої поверхні S, тому вирази під інтегралами рівні і
Одержаний вираз називається другим рівнянням Максвела. Фізичний зміст його полягає у ствердженні, що магнітне поле, яке змінюється в часі, збуджує вихрове електричне поле.
Якщо , то лінії вектору можуть бути замкнутими, причому вони повинні охоплювати лінії вектору . Напрямки ліній векторів і вказані на рис.8 для випадку, коли .
Рис.8
Нагадаємо, що в електричному безвихровому полі . Лінії вектору завжди розімкнені; вони розпочинаються у позитивних зарядів і закінчуються у негативних.
Для середи з постійною магнітною проникливістю друге рівняння Максвела прийме вигляд:
Друге рівняння Максвела встановлює залежність між зміною в часі напруженості магнітного поля і зміною в просторі напруженості електричного поля і також вказує на те, що електромагнітне поле завжди знаходиться в русі.
Третє рівняння Максвела, узагальнююче закон про переривчастість ліній електричної індукції, одержується з інтегрального рівняння (1.33) з використанням теореми Остроградського-Гауса:
Четверте рівняння Максвела, узагальнююче закон про безперервність лінії магнітної індукції, одержується аналогічним образом - з інтегрального рівняння (1.34) з використанням тієї же теореми:
П'яте диференційне рівняння, узагальнююче закон збереження заряду, одержується аналогічно - з інтегрального рівняння (1.35) з використанням теореми Остроградського - Гауса:
Для середи, що проводить останнє рівняння приймає вигляд
(1.36)
Це означає, що поле вектору соленоїдальне, тобто лінії струму замкнуті. Дійсно, замінюючи ліву частину рівності (1.36) з використанням виразів
знаходимо:
Рішенням цього рівняння є вираз
Що означає, що в середі, що проводить, заряд зменшується по експоненті і не залежить від прикладеного поля . В провідниках, де велика, заряди зникають надто швидко. Час, на протязі якого щільність заряду зменшується в рази, називається часом релаксації. Для металів час релаксації має порядок сек.. Тому можна рахувати і рівність (1.36) справедливою при змінному полі з частотою гц.