- •7.09.08.03 - «Електронні системи»
- •1. Векторний аналіз
- •Основні рівняння электромагнитного поля
- •2. Основні характеристики середи
- •3. Повний електричний струм
- •4. Дивергенція щільності струму провідності (рівняння безперервності)
- •5. Безперервність повного струму
- •6. Основні характеристики поля
- •7. Рівняння електромагнітного поля Форми запису рівнянь Максвела
- •Інтегральні рівняння електромагнітного поля
- •Диференційні рівняння електромагнітного поля
- •Рівняння Максвела в комплексній формі записи
- •Повна система рівнянь електромагнітного поля
- •8. Граничні умови
- •9. Теорема умова - пойнтінга
- •10.Теорема умова - пойнтінга в комплексній формі
- •11. Теорема о єдиному рішенні рівнянь максвела
- •12. Запізнюючі або узагальнені електродінамічні потенціали
- •13. Окремі види електромагнітного поля
- •Визначення потенційних полів
- •14. Статичні поля
- •14.1. Рівняння електростатичного поля
- •14.2. Магнітностатичне поле
- •15. Стаціонарне поле
- •15.1. Рівняння стаціонарного поля
- •15.2. Енергія магнітного поля постійного струму. Власна і взаємна індуктивності.
- •15.3. Електричне поле постійного струму в провідному середовищі. Електричний опір.
- •15.4. Передача енергії стаціонарним полем
- •Аналогія між полями
8. Граничні умови
Рівняння Максвела дозволяють знаходити поле в будь-який момент часу, як для будь-якої точки області , обмеженою поверхнею («внутрішня» задача електродинаміки), так і для будь-якої точки поза цієї області («зовнішня» задача електродинаміки). Однак для рішення цих рівнянь необхідні додаткові умови, що дозволять визначити постійні інтегрування. До таких умов відносяться умови на межах різнорідних серед - граничні умови.
Гранична умова для нормальних складових вектору магнітної індукції визначається інтегральним рівнянням:
Розглянемо циліндр, що перетинає поверхню розділу двох серед (рис.9), висота якого .
Рис. 9
Магнітні поля на верхній і нижній підставах циліндра, зважаючи на їхню малість, рахуємо однорідними, а потік крізь бічну поверхню циліндра - рівним нулю (бо висота циліндра прагне до нуля). Тоді потік, вхідний в площину , розташовану на поверхні розділу, з боку першої середи, повинен бути рівним потоку, що виходить з неї в сторону другої середи. При цьому
Отже, нормальні складові вектору магнітної індукції на межі двох серед безперервні, а нормальні складові вектору напруженості магнітного поля зазнають стрибка.
Гранична умова для нормальних складових вектору електричної індукції визначається аналогічно попередньому за допомогою рівняння:
В межі згідно цьому рівнянню, різність між потоком, що виходить з площини в сторону другої середи, і потоком, вхідним в нього з боку першої середи, дорівнює розподіленому на цьому майданчикові заряду , де - поверхнева щільність заряду [к/м2], розподіленого на площині . Остаточно маємо:
(1.37)
Тобто за наявності поверхневих зарядів нормальні складові вектору електричної індукції на межі двох серед зазнають розрив.
Якщо ж поверхневі заряди будуть відсутні, то
Тобто нормальні складові вектора електричної індукції безперервні, а нормальні складові вектора напруженості електричного поля зазнають стрибка.
Граничні умови для тангенціальних складових вектора будемо мати з рівняння
Розглянемо контур, розташований частиною в одній середі, частиною в інший (рис.10).
Рис. 10
Рахуємо контур малим і вважаємо, що електричне поле на окремих його ділянках однорідне. В межі при і права частина рівняння буде дорівнювати нулю. В результаті цього . Отже,
При цьому
тобто на межі розділу двох серед тангенціальні складові вектору напруженості електричного поля безперервні, а тангенціальні складові вектору електричної індукції зазнають стрибка.
Гранична умова для тангенціальних складових напруженості магнітного поля визначається рівнянням
Аналогічно попередньому випадку, в межі при
де - поверхнева щільність струму [а/м], яка дорівнює величині струму, що протікає в нескінченно тонкому шарі через одиницю довжини лінії, перпендикулярній напрямку струму. Таким чином, тангенціальні складові вектору напруженості магнітного поля на межі двох серед зазнають розриву, величина якого дорівнює поверхневій щільності струму в тонкому шарі. Хоч такий струм є абстракцією (може мати місце лише на поверхні середи, що ідеально проводить), однак введення його набуває фізичного змісту при високочастотному полі. При цьому в середі, що добре проводить, струм тече тільки в дуже тонкому поверхневому шарі, в межах якого відбувається стрибок вектору , і за яким поле практичне буде відсутнє.
Якщо поверхневий струм буде відсутній, то
тобто за відсутності струму на поверхні розділу двох серед тангенціальні складові напруженості магнітного поля безперервні, а тангенціальні складові вектору магнітної індукції зазнають стрибка.
Граничні умови для вектору щільності струму отримаємо з умови безперервності тангенціальних складових напруженості електричного поля . З урахуванням виразу (1.18)
Умова для нормальних складових знайдемо з виразу (1.21), враховуючи, що . Аналогічно знаходженню граничних умов для нормальних складових і , отримаємо:
З урахуванням виразу (1.37)
При або в випадку стаціонарного поля
Таким чином, тангенціальні складові струму на поверхні розділу зазнають стрибка, а його нормальні складові за відсутності поверхневих зарядів або в випадку стаціонарного поля безперервні.