- •7.09.08.03 - «Електронні системи»
- •1. Векторний аналіз
- •Основні рівняння электромагнитного поля
- •2. Основні характеристики середи
- •3. Повний електричний струм
- •4. Дивергенція щільності струму провідності (рівняння безперервності)
- •5. Безперервність повного струму
- •6. Основні характеристики поля
- •7. Рівняння електромагнітного поля Форми запису рівнянь Максвела
- •Інтегральні рівняння електромагнітного поля
- •Диференційні рівняння електромагнітного поля
- •Рівняння Максвела в комплексній формі записи
- •Повна система рівнянь електромагнітного поля
- •8. Граничні умови
- •9. Теорема умова - пойнтінга
- •10.Теорема умова - пойнтінга в комплексній формі
- •11. Теорема о єдиному рішенні рівнянь максвела
- •12. Запізнюючі або узагальнені електродінамічні потенціали
- •13. Окремі види електромагнітного поля
- •Визначення потенційних полів
- •14. Статичні поля
- •14.1. Рівняння електростатичного поля
- •14.2. Магнітностатичне поле
- •15. Стаціонарне поле
- •15.1. Рівняння стаціонарного поля
- •15.2. Енергія магнітного поля постійного струму. Власна і взаємна індуктивності.
- •15.3. Електричне поле постійного струму в провідному середовищі. Електричний опір.
- •15.4. Передача енергії стаціонарним полем
- •Аналогія між полями
7. Рівняння електромагнітного поля Форми запису рівнянь Максвела
Рівняння Максвела є фундаментальними рівняннями електромагнітного поля. Ці рівняння можуть бути записані в інтегральній, диференційній і комплексній формі. Інтегральна форма запису рівнянь встановлює зв'язок між величиною в різних точках поля або на різних відрізках, поверхнях. Диференційна форма описує співвідношення між величиною поблизу однієї і тієї же точки поля в певний момент часу. Цю форму запису застосовують при дослідженні поля, що змінюються від точки до точки. Гармонійні електромагнітні поля ,що змінюються (проекції вектору на координатні осі є гармонійними функціями часу) зручно характеризувати рівняннями Максвела у комплексній формі.
Інтегральні рівняння електромагнітного поля
Експериментально встановлені наступні закони.
Закон про збудження магнітного поля струмами (Амперу) (закон повного струму):
(1.27)
Циркуляція напруженості магнітного поля по контуру дорівнює сумі струмів, що охоплюються цим контуром (рис.6). Це означає, що причиною магнітного поля є струм.
Рис.6
Закон електромагнітної індукції (Фарадея):
(1.28)
- циркуляція напруженості електричного поля по контуру дорівнює зміні потоку індукції Ф[[вб] крізь площу, обмежену цим контуром (рис.7). Це означає, що причиною вихрового електричного поля є зміна магнітного потоку.
Рис.7
Закон взаємодії електричних зарядів (Кулона):
(1.29)
- сила взаємодії зарядів обернено пропорційна квадрату відстані між ними.
В праві частини рівнянні (1.27) і (1.28) можуть бути зроблені підстановки
Що визначають електричний струм i і потік магнітної індукції Ф через дану поверхню S.
В загальному випадку праву частина рівняння (1.27) можна записати в вигляді
Підставляючи цей вираз в (1.27), одержуємо перше інтегральне рівняння електромагнітного поля:
(1.30)
Друге інтегральне рівняння електромагнітного поля має вигляд:
(1.31)
Вважаючи в виразі (1.29), що , і розглядаючи Q1 як спробний заряд, можна визначити напруженість електричного поля , через заряд Q в точці розміщення ,що створюється спробним зарядом в вигляді
На підставі цього виразу, визначаючи потік електричної індукції через поверхню сфери радіусу r, можна написати рівняння
(1.32)
що виражає теорему Гауса: потік електричної індукції через замкнуту поверхню S дорівнює електричному заряду, розташованому в об’ємі, обмеженому цією поверхнею. В загальному випадку заряд можна представити у вигляді
- де [к/м3] - об'ємна щільність заряду. Підставляючи останній вираз до (1.32), одержуємо третє інтегральне рівняння
(1.33)
Що є узагальненням дослідницького факту про переривчастість електричних силових ліній на поверхні зарядів.
Використовуючи вираз (1.25), можемо написати: , бо . Отже,
На основі цього, застосовуючи теорему Остроградського-Гауса, одержуємо четверте інтегральне рівняння, що виражає безперервність ліній магнітної індукції:
(1.34)
Електричний струм визначається величиною заряду, крізь дану поверхню S в одиницю часу
Звідси можна написати інтегральне рівняння безперервності струму, що висловлює закон збереження заряду:
(1.35)