4. Дивергенція щільності струму провідності (рівняння безперервності)

Постійні струми можуть бути тільки в замкнутих ланцюгах. Лінії вектору щільності постійного струму безперервні і .

Постійний струм через довільну замкнуту поверхню повинен бути завжди рівний нулю. Заряд в об’ємі, обмеженому такою поверхнею, залишається незмінним в часі.

Змінні струми можуть мати місце і в незамкнених ланцюгах (наприклад, ланцюг з конденсатором). Отже, в змінних полях ланцюга з струмами провідності можуть бути незамкненими. Там, де закінчуються лінії вектору щільності струму провідності , можуть нагромаджуватися заряди; потік вектору щільності струму провідності через замкнуту поверхню може не дорівнювати нулю.

Хай в об’ємі V, обмеженому поверхнею S, є заряд Q, об'ємна щільність якого рівна . Якщо крізь поверхню S витікає струм провідності, то заряд Q стане зменшуватися і струм буде рівний

Виразивши цей струм через щільність струму провідності , отримаємо інтегральну форму рівняння безперервності

Це рівняння можна записати в диференційній формі, виразивши заряд Q через об'ємну щільність заряду

і перетворивши потік вектору по теоремі Остроградського

Так як поверхня S, а отже, і обмежений нею обсяг V були обрані довільно, то написана рівність не залежить від меж. Тому вирази під інтегралами повинні бути рівні і

(1.21)

Отримана залежність подає собою диференційну форму рівняння безперервності.

Дивергенція щільності струму провідності дорівнює швидкості зменшення щільності об'ємних зарядів.

Щільність струму провідності може мати джерела і стоки в вигляді об'ємних зарядів, що змінюються в часі.

5. Безперервність повного струму

Покажемо, що повний струм безперервний, що дивергенція щільності повного струму завжди дорівнює нулю. Бо щільність повного струму рівній сумі щільності струму провідності та щільності струму зміщення

То

Так як просторові координати від часу не залежать, то можна змінити порядок диференціювання

По теоремі Гауса в диференційній формі . Згідно рівнянню безперервності (1.21)

Тому

(1.22)

Що і вимагалося довести.

Щільність повного струму подає собою соленоїдальний вектор, що не має джерел і стоків.

6. Основні характеристики поля

Електромагнітне поле створюється електричними зарядами, незалежно від того, рухаються вони або знаходяться в спокої і може бути досліджене за допомогою «спробного» заряду, такого малого по розмірам і по величині, що він практично не змінює поле ,що досліджується.

В самому загальному випадку електромагнітне поле характеризується діючою на спробний електричний заряд Q силою:

На підставі цього електромагнітне поле можна характеризувати виразом

(1.23)

Тут - напруженість електричного поля [в/м], що може бути визначена як сила, діюча на одиничний нерухомий заряд (при E=1 в/м сила, діюча на заряд в 1к, чисельно рівна 1H=0.102 кГ);

- швидкість спробного заряду, що рухається [м/сек];

- магнітна індукція [вб/м²], що визначає діючу на заряд, що рухається ( або на провід довжиною l з струмом i силу, чисельно рівну 1Н при В = 1 вб/м², якщо li = 1 м-а).

Лінії, в будь-якій точці яких напрям вектору співпадає з дотичною, називаються електричними силовими лініями. Лінії, в будь-якій точці яких напрям вектору співпадає з дотичною, називаються силовими лініями магнітної індукції.

Електромагнітне поле характеризується двома векторними величиною і або шістьма скалярними і . Для визначення цих величини необхідно мати шість скалярних рівнянь. Однак число їх можна зменшити, характеризуючи поле векторним потенціалом і скалярним потенціалом , що зв'язані з і наступними виразами:

(1.24)

(1.25)

Для знаходження і необхідно тільки чотири скалярних рівняння.

Кількісна характеристика електромагнітного поля, окрім виразу (1.23), з використанням (1.24) і (1.25) може бути представлена виразом

(1.26)

Скалярний [В] і векторний [вб/м] потенціали характеризують енергію електромагнітного поля.