- •7.09.08.03 - «Електронні системи»
- •1. Векторний аналіз
- •Основні рівняння электромагнитного поля
- •2. Основні характеристики середи
- •3. Повний електричний струм
- •4. Дивергенція щільності струму провідності (рівняння безперервності)
- •5. Безперервність повного струму
- •6. Основні характеристики поля
- •7. Рівняння електромагнітного поля Форми запису рівнянь Максвела
- •Інтегральні рівняння електромагнітного поля
- •Диференційні рівняння електромагнітного поля
- •Рівняння Максвела в комплексній формі записи
- •Повна система рівнянь електромагнітного поля
- •8. Граничні умови
- •9. Теорема умова - пойнтінга
- •10.Теорема умова - пойнтінга в комплексній формі
- •11. Теорема о єдиному рішенні рівнянь максвела
- •12. Запізнюючі або узагальнені електродінамічні потенціали
- •13. Окремі види електромагнітного поля
- •Визначення потенційних полів
- •14. Статичні поля
- •14.1. Рівняння електростатичного поля
- •14.2. Магнітностатичне поле
- •15. Стаціонарне поле
- •15.1. Рівняння стаціонарного поля
- •15.2. Енергія магнітного поля постійного струму. Власна і взаємна індуктивності.
- •15.3. Електричне поле постійного струму в провідному середовищі. Електричний опір.
- •15.4. Передача енергії стаціонарним полем
- •Аналогія між полями
15.2. Енергія магнітного поля постійного струму. Власна і взаємна індуктивності.
Енергія магнітного поля в об’ємі визначається виразом
Здійснюючи перетворення цього співвідношення відповідно до формули
отримаємо:
Для окремого контуру з струмом перший доданок у правій частині цієї формули дорівнює нулю. Дійсно, відповідно до теореми
справедливі формули
При цьому вираз під інтегралом пропорційний і при інтегруванні по поверхні сфери з нескінченно великим радіусом обертається в нуль. Таким чином,
або, з огляду на рівняння і виразу
де і - елементи нормального перетину і довжини контуру з струмом, остаточно одержуємо:
(1.44)
Використовуючи теорему Стокса, знаходимо, що
де - повний магнітний потік, утворюваний струмом, що тече у контурі і пронизує поверхню , обмежену цим контуром.
Відповідно до останньої формули вираз (1.44) приймає вигляд:
(1.45)
оскільки потік пропорційний струму , що його створює , тобто
Коефіцієнт пропорційності між пронизуючим контур магнітним потоком і струмом, що протікає по контуру і створює цей потік, називається коефіцієнтом самоіндукції (індуктивністю контуру).
(1.46)
Вираз (1.46) можна переписати в наступному вигляді:
З останнього виразу слідує, що індуктивність контуру визначається геометричною формою провідника і магнітною проникливістю середи.
При незмінній величині струму енергія зростає зі збільшенням індуктивності контуру, а при незмінній величині магнітного потоку енергія зростає зі зменшенням індуктивності контуру.
Якщо система складається з замкнутих контурів (рис.15), то, крім власного потоку, через кожний із контурів будуть проходити потоки, утворювані струмами, що протікають в інших контурах.
Рис.15. Взаємні і власні магнітні потоки контурів.
На основі формул (1.44) і (1.45) енергія такої системи
(1.47)
Потік пронизуючий -й контур, лінійно зв'язаний із струмами усіх контурів,
(1.48)
тут - власний потік -го контуру; і - його індуктивність і струм; - потік, що пронизує -й контур і створюваний струмом , що протікає в -му контурі.
Коефіцієнт пропорційності
називається коефіцієнтом взаємної індукції або взаємною індуктивністю.
Підставляючи вираз (1.48) у (1.47), одержуємо:
(1.49)
Покажемо, що , (де ). Магнітний потік, що пронизує -й контур і створюваний струмом, що протікає у -му контурі,
Водночас
або
З порівняння виразів для знаходимо:
Так як останній вираз симетричний щодо індексів і , то, очевидно,
що відповідає принципу взаємності. Позначимо коефіцієнт взаємної індукції системи з двох контурів
а коефіцієнт власної індуктивності кожного з цих контурів
Коефіцієнти індуктивності і взаємоіндукції є інтегральними параметрами обмеженої області, у якій локалізоване магнітне поле, утворюване струмом, що протікає по розташованому в цій області провіднику.
У окремому випадку відповідно до виразу (1.48) енергія поля двох контурів
Знак плюс перед третім членом правої частини цієї формули ставлять у тому випадку, коли магнітні потоки контурів складаються, а знак мінус - коли вони віднімаються (направлені назустріч друг другу).
Для котушки з розташованими впритул витками, по яких протікає той самий струм в одному напрямку, вирази (1.49) і (1.46) мають вигляд:
тут - загальна (еквівалентна) індуктивність системи з витків; - потік, утворюваний струмом і пронизуючий усі витки. Величина
називається потокозчепленням.