46. Понятие линейной корреляции. Нахождение параметров уравнения регрессии, линейный коэффициент корреляции.

В большинстве случаев приходится анализировать согласованное изменение варьирующих признаков, которые выступают по отношению друг к другу как признаки-факторы и признаки-следствия. По своему характеру подобные связи варьирующих признаков могут быть корреляционными, соотносительными, неполными.

При анализе корреляционных зависимостей решаются две практические задачи: во-первых, необходимо обнаружить эту зависимость в фактическом материале, т. е. установить форму связи, и, во-вторых, измерить силу, или тесноту, связи, то есть степень ее приближения к связи функциональной. Первая задача решается соответствующей обработкой фактического материала и составлением уравнения корреляционной связи, вторая задача решается расчетом специальных показателей оценки тесноты связи: коэффициента корреляции, индекса корреляции, или корреляционного отношения.

Главной проблемой построения корреляционной модели является определение типа аналитической функции, отражающей механизм связи результативного признака с факторным (факторными). Тип уравнения выбирается на основе теоретического анализа и исследования исходных фактических данных.

В экономико-статистической практике часто постулируют простую модель линейной регрессии , когда функциональная связь между явлениями X и Y имеет вид Y(X)=а1*X+а0, где а0, а1- некоторые постоянные величины (параметры), вычисляемые по методу наименьших квадратов либо иным методом. Уравнение регрессии характеризует изменение среднего уровня Y-признака в зависимости от факторного X-признака. Оно определяет математическое ожидание групповых средних Y-признака при различных значениях X-признака. В модели линейной регрессии результативный Y-признак изменяется равномерно под влиянием факторного X-признака; модель имеет весьма широкое применение, ее параметры а0 и а1- легко вычисляются и интерпретируются, однако в реалиях такой тип связи является относительно редким. Поэтому модель линейной регрессии часто рассматривают как некоторое упрощение реальной связи.

Например, в виде прямой можно представить связь между уровнем урожайности зерновых и массой внесенных органических удобрений на 1 га посевов:

ух=а0+а1х,

где ух – уровень урожайности зерновых; х – масса внесенных органических удобрений, т/га; а0 – свободный член уравнения, который в данном случае представляет собой средний уровень урожайности при х=0, то есть когда удобрения не вносятся; а1 – коэффициент регрессии, показывающий на сколько в среднем увеличится уровень урожайности зерновых с увеличением внесенных органических удобрений на 1т.

Уравнение прямой, описывающее корреляционную связь, является уравнением связи, или регрессии, а сама прямая – линией регрессии. Параметры уравнения прямой находятся выравниванием по способу наименьших квадратов, которое приводит к системе двух нормальных уравнений:

a0n+a1Σx=Σy;

a0Σx+a1Σx2= Σxy.

Решая систему этих уравнений, находим:

a0=(Σy*Σx2 –Σxy*Σx)/(n Σx2 -ΣxΣx) a1=( nΣxy -ΣxΣy)/( n Σx2 - ΣxΣx)

Д ля измерения тесноты линейной связи применяется относительный показатель, который называется линейным коэффициентом корреляции rxy. Он исчисляется по формуле

Линейный коэффициент корреляции принимает абсолютные значения от 0 до 1 и может быть как положительной, так и отрицательной величиной, что соответственно указывает на прямую (+) или обратную (-) связь между изучаемыми признаками.

При изучении количественного влияния признаков-факторов на результаты важно определит, какая часть результативного признака непосредственно обусловлена воздействием вариации факторных признаков.

С этой целью могут быть рассчитаны различные показатели детерминации. Наиболее универсальный показатель детерминации – доля систематических (факторных) вариаций в структуре общей вариации результативного признака.

Квадрат линейного коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации r2. Коэффициент детерминации показывает, в какой мере вариация (различия) результативного признака обусловлена вариацией признака факторного.

Линейный коэффициент корреляции может быть также выражен через дисперсии слагаемых:

rxy=(σ2x+σ2y+σ2xy)/2σxσy

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1:

Оценка линейного коэффициента корреляции

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t–критерия Стьюдента:

Если расчетное значение tp > tkp (табличное) – это свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции, а следовательно, и о статистической существенности зависимости между х и у.

Имеются специальные таблицы «Распределение Стьюдента (t-распределение)», по которым по известным (рассчитанным) параметрам v=n-1 и α (вероятность) и находят значение tkp.