34. Аналитическое выравнивание уровней ряда динамики. Уравнение тренда. Понятие интерполяции и экстраполяции.

Более совершенным способом выявления основной тенденции динамики является аналитическое выравнивание (определение тренда). Этот способ состоит в нахождении такой прямой или кривой, ординаты точек которой были бы максимально близки к уровням исследуемого динамического ряда. Тренд прямой или кривой выбирается после всестороннего анализа закономерностей и характера развития явлений и показателей, представленных в динамическом ряду.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в динамических рядах является то, что закономерно изменяющийся уровень изучаемого общественного явления (Yвt) рассчитывается как функция времени (тренд): Yвt = f(t).

Параметры аналитического уравнения выбранной линии находят, используя способ наименьших квадратов. В этом случае предполагается, что сумма квадратов отклонений фактических уровней (Y) от выравненных (Yвt), т. е. расположенных на искомой линии, должна быть минимальной:

Σ(Y- Yвt)2----min.

Рассмотрим технику выравнивания ряда динамики по уравнению тренда прямой:

Yвt = a0 + a1t,

где t – условное обозначение времени; a0 – и a1- параметры искомой прямой.

Выравнивание по уравнению тренда прямой применяется в тех случаях, когда характер движения изучаемого явления ближе всего к прямолинейному. Для этого типа динамики характерны постоянные цепные абсолютные приросты:

ΔУц ≈ onst.

Параметры a0 и a1, удовлетворяющие методу наименьших квадратов, находятся путем решения следующей системы нормальных уравнений:

na0+a1Σt=Σy;

a0 Σt+ a1Σt2= Σyt,

где у — фактические уровни ряда динамики; п — число уровней ряда; t — нумерация фактора времени.

Эта система уравнений значительно упрощается, если значения t подобрать так, чтобы их сумма равнялась нулю. Тогда получается следующая система уравнений:

na0=Σy;

a1Σt2= Σyt,

решая которую, получаем: a0= Σy/n; a1= Σyt/ Σt2.

Если уровней в ряду динамики четное число, то условные обозначения времени t принимаются следующие:

Годы 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

t -7 -5 -3 -1 1 3 5 7

Если уровней в ряду динамики четное число, то отсчет ведется от середины, принятой за ноль:

Годы 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

t -3 -2 -1 0 1 2 3

Рассчитываемые при анализе рядов динамики аналитические и средние показатели, параметры уравнений тренда широко используются для интерполяции и экстраполяции динамических рядов.

Интерполяцией называется нахождение недостающих промежуточных уровней ряда динамики. При этом предполагается, что закономерность изменения уровней, выявленная в изучаемом периоде, характерна для каждого его временного отрезка.

Экстраполяцией называется определение неизвестных уровней динамического ряда, лежащих за его пределами. Этот метод заключается в том, что, продолжая найденные математические кривые, можно предсказать дальнейшее развитие явлений (или сделать вывод о развитии исследуемого явления в прошлом).

Необходимо иметь в виду, что экстраполяция в рядах динамики носит приближенный, условный характер и является только вспомогательным инструментом при прогнозировании социально-экономических явлений.

Аналитическое выравнивание динамических рядов проводят с использованием не только линейной зависимости, а в зависимости от характера поведения во времени значений ряда могут быть следующие подходы.

1. Выравнивание по параболе второго порядка: Yвt = a0 + a1t + a2t2, используя метод наименьших квадратов и выполнив соответствующие преобразования получим:

a0=(Σt4Σy- Σt2yΣt2)/(nΣt4- Σt2Σt2);

a1= Σty/Σt2; a2=(nΣt2y-ΣyΣt2)/(nΣt4-Σt2Σt2).

2. Выравнивание по показательной кривой: Yвt = abt . Выражение путем логарифмирования превратим в уравнение прямой линии –

lgYвt =lga+tlgb или lga=Σlgy/n, lgb=Σtlgy/Σt2.

2. Выравнивание по уравнению гиперболы: Yвt = a0 + a1/t, получим систему нормальных уравнений:

na0+a1Σ(1/t)= Σy;

a0Σ(1/t)+a1Σ(1/t)2= Σ(1/t)y. Параметры a0, a1 уравнений найдем путем решения системы уравнений.

Комбинирование различных статистических методов в сочетании с разнообразными приемами экстраполяции может служить основой прогноза важнейших экономических показателей развития явлений.