17. Сущность и значение средних величин. Основные научные положения теории средних.

Средние величины играют исключительно важную роль в С.. Метод средних в его общей форме, как и метод группировок, является специфической особенностью статметодологии. Средняя представляет собой обобщенную характеристику признака в статсовокупности, единицы которой подвержены действию различных факторов. Средняя является общей мерой их действия, их равнодействующей. В средней величине массового явления нивелируются индивидуальные различия единиц совокупности в значениях осредняемого признака, поэтому в ней проявляются общие закономерности, присущие данной совокупности.

Средние величины в С. - это показатели, выражающие характерные, типичные, свойственные большинству признаков размеры и соотношения.

Средняя выступает важнейшим методом обобщения и в этом смысле говорят о методе средних величин, широко применяемом в экономико-статистических исследованиях. Математические приемы, используемые в различных разделах С., непосредственно связаны со средними величинами.

18. Средняя арифметическая, ее основные математические свойства и методы расчета.

Средняя арифметическая - наиболее распространенный в С. тип средних величин. Как и все остальные средние, она применяется в форме простой и взвешенной средней (средневзвешенной). Пусть конечное множество X={X1, X2, ... ,Xn} есть набор вариантов некоторого признака явления. Тогда средняя (Хср) и средневзвешенная арифметическая вычисляются соответственно по следующим простым формулам:

Хср = ΣХj/n - простая

Хср = ΣХjfj /Σfj - взвешенная

где fj - частота (вес) варианта Xj признака (j=1¸n).

В зависимости от характера осредняемого признака и имеющихся данных применяются виды средних, отличные от арифметической и взвешенной. В С. наряду с отмеченными применяются преимущественно средние: гармоническая, геометрическая и квадратическая, а также мода и медиана.

Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда каждое индивидуальное значение признака встречается один раз или одинаковое число раз.

Если же варианты (значения признака) встречаются неодинаковое число раз, то используется средняя арифметическая взвешенная

Формулы средних взвешенных применяются во всех случаях, когда варианты значений признака имеют различный удельный вес, а формулы простых (не взвешенных) средних — когда варианты имеют равные веса. В первом случае расчет ведется по уже сгруппированным данным на основании дискретных рядов распределения, а во втором — обычно по несгруппированным, где каждый признак представлен одним числом или равное число раз. Неправильный выбор формулы, расчет средних показателей по формуле средней простой вместо средней взвешенной может привести к серьезным ошибкам.

Средние величины могут рассчитываться не только по дискретным, но и по интервальным рядам распределения. Например, при расчете средней интервального ряда надо сначала определить значение середины каждого интервала, а затем уже среднюю для всего ряда. Средние, исчисленные по интервальным рядам, являются приближенными. Степень их приближения зависит от степени равномерности распределения единиц совокупности внутри интервала. Точность средней интервального ряда зависит также от размера интервала: чем он меньше, тем точнее средняя.

Средняя арифметическая обладает рядом математических свойств, которые используются для упрощения техники ее расчета,

1. Средняя арифметическая сумма (разность) двух величин равна сумме (разности) средних этих величин:

(Х ± У)ср.= Хср. ± Уср. или Σ(Хj±Уj)/n = ΣХj/n ± ΣYj/n

Можно суммировать величины, например, если выпускаемое изделие состоит из двух деталей, причем на изготовление одной из них в среднем расходуется 3 ч, а второй — 5 ч, то средние затраты времени на изготовление одного изделия составят 8ч.

2. Общий множитель (m) индивидуальных значений признака (X) может быть вынесен за знак средней:

(mX)ср. = m Xср., так как ΣmXj/ n = mΣХj/ n =

m(ΣХj/ n)

Из этого свойства следует, что если все значения признака разделить (или умножить) на одно и то же число, то средняя величина уменьшится (увеличится) во столько же раз.

3. Средняя постоянной величины равна ей самой:

Хср.=А, так как Σ Аj/ n = nА/ n = А

Применив первое и третье свойства, можно доказать, что

(Х± А)ср. = Xср. ± А.

Отсюда следует, что если все значения признака Х уменьшить или увеличить на одно и то же число a, то средняя уменьшится или увеличится на это же число

4. Если все частоты признака уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

Хср = ΣkХjfj /Σkfj = kΣХjfj /(kΣfj) = ΣХjfj /Σfj

5. Алгебраическая сумма отклонений всех значений признака от средней арифметической равна нулю:

Σ(Х – Хср.) = 0,

так как Хср.= ΣХjfj /Σfj, то Хср. Σfj = ΣХjfj , следовательно ΣХjfj -Хср Σfj = 0

На основании свойств средней можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину, разность сократить на общий множитель и на основе упрощенных значений (Х-А)/i рассчитать условную среднюю, которая называется моментом первого порядка m₁:

m₁ = Σ{(Xj-A)/i}fj/Σfj тогда средняя величина равна

Хср = m₁i + А. Это соотношение часто используется для упрощенного расчета средней величины.