22. Дисперсия альтернативного признака.

Дисперсия - средний квадрат отклонений инд. значений признака от средней величины.

Математические свойства дисперсии

Средний квадрат отклонений индивидуальных значений признаков от средней арифметической обладает рядом математических свойств, на которых основаны упрощенные способы его расчета.

1. если все значения признака уменьшить или увеличить на одно и то же постоянное число А, то дисперсия от этого не изменится:

σ²(х-а) = Σ{(X_j – A) –(X-A)_ср}²/n = Σ(X_j-A –X_ср+A)²/n = Σ(X_j-X_ср)²/n.

2 . если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и то же число раз k, то дисперсия уменьшится или увеличится в k² раз:

3. если рассчитать средний квадрат отклонений значений признака от любой постоянной величины А, не равной средней арифметической, то эта величина будет всегда больше дисперсии, рассчитанной от средней, на квадрат разности между средней арифметической и этим числом А.

Средний квадрат отклонений от постоянной величины А исчисляется:

σ²А = Σ(Х-А)²/n

Представим выражение (Х-А) в виде ∑ отклонений (Х-Х_ср)+(Х_ср-А) и получим:

σ²А = Σ[(Х-Х_ср)+(Х_ср-А)]²/ n

Возведем в квадрат

σ²А = Σ[(Х-Х_ср)²+2(Х-Х_ср)(Х_ср-А)+(Х_ср-А)² ] / n

= {Σ(Х-Х_ср)²+2Σ(Х-Х_ср)(Х_ср-А)+Σ(Х_ср-А)² } / n

Выражение 2Σ(Х-Х_ср)(Х_ср-А)=0, так как Σ(Х-Х_ср) =0 - свойство средних.

Выражение Σ(Х_ср-А)² можно представить в виде n(Х_ср-А)². Тогда :

σ²А = [Σ(Х-Х_ср)²+ n(Х_ср-А)² ] / n = σ²х_ср+(Х_ср-А)².

Из этого свойства вытекает, что дисперсия рассчитанная от средней, есть минимальная дисперсия.

4. – пусть А=0, в этом случае дисперсию признака можно найти как разность между средней из квадратов значений признака и квадратом их средней. Согласно третьему свойству дисперсии, дисперсия, рассчитанная по средней арифметической, может быть представлена как

σ²х_ср= σ²А - (Х_ср-А)²= Σ(Х-А)²/n –(ΣХ/ n -А)². Если А = 0, то

σ²х_ср= ΣХ²/n –(ΣХ/ n)²=Х²_ср – (Х_ср)²

23. Виды дисперсий и правило сложения дисперсий.

С помощью показателей вариации можно выявлять степень влияния, тесноты зависимости признаков между собой. На вариацию признака влияют различные причины (факторы). Они делятся на случайные и систематические.

Для определения влияния какого-либо одного фактора на величину вариации пользуются аналитической группировкой, т.е. расчленяют по этому фактору всю совокупность на группы и определяют, как изменяется, варьирует результативный признак под влиянием фактора, положенного в основу группировки.

Вариация, обусловленная фактором, положенным в основу группировки, называется межгрупповой вариацией. Размеры ее определяются при помощи межгрупповой дисперсии.

М ежгрупповая дисперсия характеризует колеблемость групповых, или частных средних (Хi_ср) около общей средней (Х_ср) и исчисляется по формуле (f_i – количество единиц совокупности в i-группе).

Следовательно, межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) равна средней арифметической квадратов отклонений частных средних от общей средней.

Для определения влияния всех остальных факторов на общую вариацию признака (кроме группировочного) рассчитывают внутригрупповые дисперсии (σ²i), а затем среднюю внутригрупповых дисперсий (σ²iср).

Средняя внутригрупповых дисперсий характеризует вариацию результативного признака, которая возникает под влиянием всех остальных факторов, кроме группировочного.

В нутригрупповые, или частные, дисперсии определяются по формуле

(fi – веса признака Х в соответствующей I группе)

С редняя внутригрупповых, или частных, дисперсий определяются по формуле средней арифметической взвешенной дисперсий групп

В математической С. доказано, что общая дисперсия признака равна Σ межгрупповой и ср. арифметической внутригрупповых дисперсий: σ²общ = σ²+ σ²i_ср.