21. Статистическое изучение вариации. Показатели вариации и методы их расчета.

На второй лекции рассматривали статистические ряды. Вариационный ряд – это последовательность количественных значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания. Подсчитав число одинаковых значений признака у элементов данной совокупности, получаем ряд распределения - вариационный ряд, в котором отдельные значения признака называются вариантами.

Количественная сторона явлений выступает как переменная величина, имеющая определенные границы. Вариация порождается целым комплексом разнообразных условий, действующих на элементы совокупности.

Вариация – изменение (колеблемость) значения признака внутри совокупности. Поскольку колеблемость признаков бывает большей или меньшей, возникает задача измерения ее величины. Изучение вариации наряду с применением методов средних и относительных величин имеет большое практическое и методологическое значения. Вариация характеризует степень однородности совокупности по данному признаку.

Измерение вариации позволяет определять степень воздействия на данный признак других варьирующих признаков; оно также необходимо при организации выборочного наблюдения, при изучении статистических взаимосвязей и в ряде других случаев. Особое значение приобретают вариации по времени, ибо характеризуют динамику изучаемого объекта.

Показатели вариации совокупностей

Для выявления закономерности вариационного ряда недостаточно его построения, поэтому для анализа вариационного ряда и сравнительной характеристики рядов применяются обобщающие показатели. Одну из групп таких показателей составляют характеристики центра группирования (X_ср, Мо и Ме). Вторая группа показатели степени вариации, характеризующие колеблемость признака; третья группа - показатели формы вариационного ряда.

Показатели степени вариации относятся к числу обобщающих показателей они измеряют вариацию в совокупности явлений. В С. чаще всего используются следующие показатели вариации, которые принято делить на абсолютные и относительные.

К абсолютным показателям вариации относ: размах вариации (R), ср линейное отклонение (ℓ_ср), дисперсия признака (σ²) и среднее квадратическое отклонение (σ).

К относительным показателям – коэффициент осциляции (V_R), относительное линейное отклонение (V_ℓ), коэффициент вариации (V).

Значение показателей вариации состоит в том, что они:

- дополняют средние величины, скрывающие индивидуальные различия единиц совокупности;

- характеризуют степень однородности статсовокупности по данному признаку;

- характеризуют границы вариации данного признака;

- соотношения показателей вариации характеризуют взаимосвязь между выбранными для изучения признаками явления.

Рассмотрим показатели вариации детальнее; вариационный ряд имеет в общем случае вид X={X₁,X₂, ..., X_n}. Размах вариации (R) - разность между максимальным и минимальным значениями признака, т.е. R=(X_max-X_min). Показатель R характеризует пределы изменения варьирующего признака; его простота и определяет частое использование в технике и экономике. Однако величина R зависит только от двух крайних значений вариационного ряда, что в известной мере делает его величину случайной, так как R – не учитывает степень колебания остальных значений.

Расчет показателей вариации (абсолютные)

Среднее линейное отклонение (ℓср) представляет собой среднюю величину из отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической. Нам известно, что сумма всех отклонений от средней арифметической равна нулю, для исчисления среднего линейного отклонения используют арифметическая сумма абсолютных величин отклонений. Для не сгруппированной совокупности ℓср рассчитывается по формуле средней арифметической простой (1), для сгруппированного – определяется по формуле взвешенной средней (2):

ℓ_ср = Σ| X_j – X_ср|/n (1) ℓ_ср = [Σ| X_j – X_ср| f_j] / Σf_j (2)

где вторая формула определяет средневзвешенное значение ℓср

Дисперсия признака (σ²) – средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней величины.

σ² = Σ( X_j – X_ср)²/n (3) σ² = [Σ( X_j – X_ср)² f_j] / Σf_j (4)

где четвертая формула определяет средневзвешенное значение σ².

С реднее квадратичное отклонение равно корню квадратному из дисперсии признака или корню квадратному из средней суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней:

где шестая формула определяет средневзвешенную величину среднее квадратическое отклонение. Данный показатель является наиболее фундаментальным при определении вариации признака и широко применяется не только в С., но и в других сферах человеческой деятельности.

При вычислениях обобщающих показателей для интервальных вариационных рядов действительные значения признака заменяются центральными значениями интервала, которые, вообще говоря, отличны от среднеинтервальных. Это приводит к появлению систематической погрешности при вычислении

Система показателей вариации их расчет.

Шеппард установил, что ошибка дисперсии, вызванная этим обстоятельством, составляет 1/12 квадрата величины интервала (ВИ), т.е. скорректированная дисперсия равна s²-(ВИ)2/12. Поправка Шеппарда должна применяться при условиях, что вариационный ряд: (1) имеет непрерывный характер вариации; (2) характеризуется тесной близостью с осью абсцисс на концах кривой распределения и (3) имеет достаточно большое число данных (n³500).

Рассмотренные выше показатели вариации, кроме дисперсии, выражаются в единицах измерения признака и являются абсолютными. Поэтому среднее квадратическое отклонение неудобно для сопоставления вариации различных признаков.

Для этих целей используются относительные меры вариации признаков, которые выражаются в процентах и находятся по отношению к средней.

Расчет показателей вариации (относительные)

Коэффициент осцилляции (V_R) – отнош размаха вариации к ср арифметич.: V_R = R/Хср х100;

Линейный коэф-т вариации (V_ℓ) – отнош среднего линейного отклонения к средней арифметической: V_ℓ = ℓср / Х_ср х100;

Коэф-т вариации (V) – отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической: V = σ / Хср х100;

Это наиболее распространенный относительный показатель вариации признака внутри совокупности.