13. Базовые квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и парабол. Формула теоретической погрешности.
Перейдем к
непосредственному выводу квадратурных
формул для порядков
.
.
Пусть
.
Как говорилось выше, шаг h
в этом случае не определен, т.к. имеется
всего один узел
.
Это
т
узел может быть выбран многими способами.
Положим, например,
(тем самым
оптимизируется погрешность «в среднем»
для большого семейства функций). Учитывая,
что полином Ньютона нулевого порядка
имеет вид
,
Получаем квадратурную формулу
«нулевого
порядка»
|
(6) |
.Формула (6) имеет простой геометрический смысл и называется «формулой прямоугольника».
Для оценки
погрешности данной квадратурной формулы
(как говорилось выше, при
формула (6) не применима) введем «псевдошаг»,
положив
,
и рассмотрим интеграл
. (7)
После замены
переменных
получим:
.
(8)
Пусть
.
Разложим подинтегральную функцию в (8)
в ряд Тэйлора до членов второго порядка:
,
где
,
и подставим в (8):
=
.
Из последней формулы усматриваем, что
- приближенное
значение интеграла (квадратурная
формула прямоугольника);
- теоретическая
погрешность формулы прямоугольника.
Из последней формулы получаем оценку абсолютной погрешности формулы прямоугольника:
.
.
Используем два узла:
.
и линейное
приближение интерполяции:
,
.
Отсюда получаем приближенное значение
интеграла
|
(9) |
-Квадратурная фомула (9) называется формулой трапеции. Дадим геометрическую иллюстрацию формулы (9). На рисунке заштрихована площадь трапеции, определяемая формулой (9).
Погрешность
формулы трапеций находим по формуле
(5) (по прежнему считаем, что
):
(10)
|
( |
.
Из формулы (10)
следует оценка абсолютной погрешности:
.
.
(Параболическая интерполяция). Определяем
узлы:
,
.
Интерполяционный полином Ньютона
второго порядка имеет вид
,
.
Вычисляем приближенное значение
интеграла:
.
Таким образом, квадратурная формула
второго порядка имеет вид
(11)
Формула (11) носит
название - формула
Симпсона.
Погрешность квадратурной формулы
Симпсона приведем без вывода:
(12)
Из (12) получаем
оценку абсолютной погрешности
.
Формулы (5), (10) и (12) для погрешности
квадратурных формул носят теоретический
характер. В частности, они позволяют
выяснить, какова алгебраическая
степень точности
данной квадратурной формулы.
14. Обобщенные квадратурные формулы трапеции и Симпсона (формулы Ньютона-Котеса).
При построении базовых квадратурных формул использовалось число узлов от одного до трех, распределенных равномерно на отрезке .
Для повышения точности квадратурных формул введем на более густую равномерную сетку с мелким шагом h:
и вычислим подынтегральную функцию в полученных узлах
.
Используя полученное разбиение отрезка, запишем интеграл
.
Дальнейший результат будет зависеть от порядка базовой квадратурной формулы, используемой на i-ом интервале. Например, для приближения порядка (формула трапеций) получим:
|
(13) |
.Формулу (13) можно назвать «обобщенной формулой трапеций».
Определение. Квадратурная формула n-го порядка, построенная на равномерной сетке с (N+1) узлом, носит название «формула Ньютона-Котеса порядка n с (N+1) узлом».
Т.о. формула (13)
есть формула Ньютона-Котеса порядка
n=1
c (N+1)
узлом. Выведем формулу для погрешности
данной квадратурной формулы. Пусть
.
Построим формулу Ньютона-Котеса второго
порядка, обобщающую квадратурную формулу
Симпсона. Для этого необходимо на
распределить нечетное число узлов:
.
Диаграмма узлов изображена
н
x2N
На каждой
последовательной тройке узлов
используем базовую формулу Симпсона.
Обозначим
Имеем:
(15)