- •2. Позиционная и нормализованная формы записи чисел. Значащие и верные цифры позиционной системы.
- •3. Ошибки округления чисел. Распространение ошибок округления в арифметических операциях. Абсолютная и относительная погрешность суммы, разности, произведения и частного.
- •Определение 2. Величина называется абсолютной погрешностью представления числа X с помощью числа .
- •4. Близость в метрическом и нормированном пространствах. Расстояние и норма, их определения и свойства. Основные классы функций:
- •5. Постановка задачи интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Теорема о погрешности интерполяции. Единственность многочлена Лагранжа.
- •6. Интерполяция на равномерной сетке. Конечные разности и их свойства.
- •1) Докажем, что операторы и перестановочные. .
- •7. Интерполяционный многочлен Ньютона. Построение и оценка погрешности.
- •8. Ортогональность в гильбертовом пространстве. Многочлены Чебышёва. Определение, построение, свойства.
- •9. Применение многочленов Чебышёва к задаче интерполяции. Теорема об оптимальном выборе узлов.
- •10. Среднеквадратичное приближение функций. Постановка задачи, теорема о существовании и единственности.
- •20. Классические ортогональные многочлены. Построение ортогональных многочленов на каноническом отрезке [-1,1].
- •11. Численное интегрирование. Использование функциональных рядов.
- •12. Квадратурная формула на основе интерполяции. Формулы дл коэффициентов и остаточного члена.
- •13. Базовые квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и парабол. Формула теоретической погрешности.
- •14. Обобщенные квадратурные формулы трапеции и Симпсона (формулы Ньютона-Котеса).
- •15. Теоретич. Оценки погрешности обобщённых формул трапеции и Симпсона.
- •16. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурной формулы Симпсона.
- •17. Общие свойства полиномов ортогональных с весом.
- •18. Алгебраическая степень точности квадратурной формулы. Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Теорема о необходимых и достаточных условиях выбора узлов в формулах Гаусса-Кристоффеля.
- •21. Принцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке. Доказать единственность неподвижной точки. Следствия теоремы для банаховых пространств и пространства
- •22. Метод простых итераций решения функциональных уравнений и систем. Условия сходимости.
- •23. Метод Ньютона. Геометрическая интерпретация. Теорема о сходимости метода в одномерном случае.
- •24. Метод Ньютона в многомерном случае. Организация итерационного алгоритма.
- •25. Численные методы решения слау. Прямые и итерационные методы, общие понятия.
- •26. Нормы вещественных квадратных матриц. Спектральные свойства матриц.
- •27. Обусловленность матриц и систем лау. Число обусловленности в спектральной норме.
- •28. Метод итераций для слау специального вида. Теорема о достаточных условия сходимости.
- •29. Спектральный признак сходимости.(теорема о необх. И дост. Усл. Сходимости)
- •30.Стационарные итерационные процедуры. Приведение слау к системе специального вида.
- •31. Метод простых итераций Ричардсона. Условия сходимости.
- •32. Теорема о выборе ускоряющего множителя в методе Ричардсона.
- •33. Метод Якоби. Организация алгоритма. Теорема о достаточных условиях сходимости.
- •34. Метод Зейделя как ускорение метода Якоби. Организация алгоритма. Теорема об условиях сходимости.
- •35. Метод последовательной верхней релаксации. Задача выбора ускоряющего множителя.
- •36. Численное дифференцирование на основе интерполяции.
- •37. Численное дифференцирование на равномерной сетке, основанное на тэйлоровском разложении. Теорема об аппроксимации первой и второй производной.
- •38. Задача Коши. Постановка задачи. Сведение к системе для уравнения n-ого порядка.
- •39. Метод Эйлера. Алгоритм, геометрическая интерпретация, порядок точности.
- •40. Методы Рунге-Кутты повышенной точности. Метод «предиктор-корректор» и метод «средней точки».
- •41. Общая постановка краевой задачи для решения оду второго порядка. Классификация граничных условий.
- •42. Метод «стрельбы» решения краевой задачи с граничными условиями первого рода.
- •43. Метод конечных разностей решения линейной краевой задачи для оду второго порядка.
- •44. Каноническая разностная схема для линейного оду второго порядка, имеющая порядок аппроксимации .
- •45. Устойчивость разностных схем. Спектральный признак устойчивости для уравнений с постоянными коэффициентами. Примеры для оду и уравнений в частных производных.
39. Метод Эйлера. Алгоритм, геометрическая интерпретация, порядок точности.
Будем искать решение задачи (6) в прямоугольнике .
Введем сетку на оси , , .
Простейший итерационный процесс решения задачи (6) получается, если аппроксимировать производную на сетке правой конечной разностью. Обозначая приближенное решение на сетке , получим или
|
(10) (10)
|
Итерационная процедура (10) представляет собой метод Эйлера (или метод ломаных). Графическая иллюстрация метода приведена на рис. 4.1
Рис. 4.1. Графическая иллюстрация метода Эйлера (метод ломаных). Жирная кривая – ломаная Эйлера;
U(x) – интегральная кривая, проходящая через начальную точку (1, U(1));
шаг сетки h = 1. eps(3) – погрешность в точке x2 = 3.
Начав движение из точки на точном решении , итерационное решение образует ломаную линию, каждый отрезок которой представляет собой касательную к кривой , проходящую через данную точку.
Действительно, запишем уравнение касательной к u(x) в точке и положим : . Далее, аналогичным образом, строим касательную в точке и положим и т.д. Здесь – та интегральная кривая, которая проходит через точку (x1,y1). Из рисунка видно, что ошибка растет с номером k. Выясним, каков порядок этой ошибки в сеточной норме . Будем считать, что ошибка округления имеет порядок не меньший, чем . Тогда из (10) следует:
|
(11) |
Разложим точное решение в точке с такой же точностью:
|
(12) |
Вычтем(12) из (11)
|
(13) |
где . В силу условий теоремы существования и единственности частные производные ограничены в прямоугольнике : . Обозначим и оценим (13) по модулю по условию.
|
|
|
Обозначим |
(10) (14) |
40. Методы Рунге-Кутты повышенной точности. Метод «предиктор-корректор» и метод «средней точки».
Метод предиктор-корректор. Проинтегрируем обе части уравнения (6) по отрезку на равномерной сетке :
.
Левую часть полученного уравнения вычисляем по формуле Лейбница:
.
Для вычисления правой части используем квадратурную формулу трапеций:
где погрешность, определяемая формулой
.
Если отбросить остаточный член, то получаем неявную итерационную схему.
|
(13) (16) |
Аналогично тому, как оценивается ошибка в методе Эйлера, можно показать, что результирующая ошибка метода (16) имеет порядок (теряется один порядок при приближении к концу отрезка).
Т.к. схема (16) неявная, то ее следует решать методом итераций для фиксированных точек и . Более простой путь заключается в следующем. Используем в (16) только 2 последовательных этапа итераций:
|
(14) (17) |
.
Полученная схема (17) имеет также порядок точности и носит название «метод предиктор-корректор» (метод Хойна - в иностранной литературе).
Поясним геометрический смысл названия.
На первом этапе предсказывается значение по методу Эйлера. На втором этапе это значение корректируется путем усреднения угловых коэффициентов в точках и . За счет коррекции точность метода и повышается на порядок по сравнению с методом Эйлера.
Метод средней точки. Найдем сначала значение в промежуточной точке отрезка по простому методу Эйлера: - обозначим так найденное значение на половинном шаге от точки . Затем в полученной точке вычислим угловой коэффициент касательной и в этом направлении совершим движение из точки в точку :
.
Полученный метод имеет 2-ой порядок точности и называется модифицированным методом Эйлера с коррекцией углового коэффициента на половинном шаге или более коротко ─ метод средней точки.
Существует общий теоретический подход к построению явных итерационных методов решения задачи Коши повышенного порядка точности . Это так называемые Методы Рунге-Кутты -го порядка, удовлетворяющие следующим условиям.
1. Это одношаговые методы, т.е. при переходе из точки в точку используется лишь информация о предыдущей точке .
2. Процедура согласуется с рядом Тейлора вплоть до членов порядка , где - порядок метода.
3. Метод не использует производных от , а требует только вычисления функции в различных точках сетки, причем число вычислений функции - минимально возможное для данного порядка.
Заметим, что метод Эйлера является частным случаем метода Рунге-Кутты, имеющий наименьший первый порядок точности, а методы средней точки и предиктор-клрректор - методы Рунге-Кутты второго порядка.