- •2. Позиционная и нормализованная формы записи чисел. Значащие и верные цифры позиционной системы.
- •3. Ошибки округления чисел. Распространение ошибок округления в арифметических операциях. Абсолютная и относительная погрешность суммы, разности, произведения и частного.
- •Определение 2. Величина называется абсолютной погрешностью представления числа X с помощью числа .
- •4. Близость в метрическом и нормированном пространствах. Расстояние и норма, их определения и свойства. Основные классы функций:
- •5. Постановка задачи интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Теорема о погрешности интерполяции. Единственность многочлена Лагранжа.
- •6. Интерполяция на равномерной сетке. Конечные разности и их свойства.
- •1) Докажем, что операторы и перестановочные. .
- •7. Интерполяционный многочлен Ньютона. Построение и оценка погрешности.
- •8. Ортогональность в гильбертовом пространстве. Многочлены Чебышёва. Определение, построение, свойства.
- •9. Применение многочленов Чебышёва к задаче интерполяции. Теорема об оптимальном выборе узлов.
- •10. Среднеквадратичное приближение функций. Постановка задачи, теорема о существовании и единственности.
- •20. Классические ортогональные многочлены. Построение ортогональных многочленов на каноническом отрезке [-1,1].
- •11. Численное интегрирование. Использование функциональных рядов.
- •12. Квадратурная формула на основе интерполяции. Формулы дл коэффициентов и остаточного члена.
- •13. Базовые квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и парабол. Формула теоретической погрешности.
- •14. Обобщенные квадратурные формулы трапеции и Симпсона (формулы Ньютона-Котеса).
- •15. Теоретич. Оценки погрешности обобщённых формул трапеции и Симпсона.
- •16. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурной формулы Симпсона.
- •17. Общие свойства полиномов ортогональных с весом.
- •18. Алгебраическая степень точности квадратурной формулы. Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Теорема о необходимых и достаточных условиях выбора узлов в формулах Гаусса-Кристоффеля.
- •21. Принцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке. Доказать единственность неподвижной точки. Следствия теоремы для банаховых пространств и пространства
- •22. Метод простых итераций решения функциональных уравнений и систем. Условия сходимости.
- •23. Метод Ньютона. Геометрическая интерпретация. Теорема о сходимости метода в одномерном случае.
- •24. Метод Ньютона в многомерном случае. Организация итерационного алгоритма.
- •25. Численные методы решения слау. Прямые и итерационные методы, общие понятия.
- •26. Нормы вещественных квадратных матриц. Спектральные свойства матриц.
- •27. Обусловленность матриц и систем лау. Число обусловленности в спектральной норме.
- •28. Метод итераций для слау специального вида. Теорема о достаточных условия сходимости.
- •29. Спектральный признак сходимости.(теорема о необх. И дост. Усл. Сходимости)
- •30.Стационарные итерационные процедуры. Приведение слау к системе специального вида.
- •31. Метод простых итераций Ричардсона. Условия сходимости.
- •32. Теорема о выборе ускоряющего множителя в методе Ричардсона.
- •33. Метод Якоби. Организация алгоритма. Теорема о достаточных условиях сходимости.
- •34. Метод Зейделя как ускорение метода Якоби. Организация алгоритма. Теорема об условиях сходимости.
- •35. Метод последовательной верхней релаксации. Задача выбора ускоряющего множителя.
- •36. Численное дифференцирование на основе интерполяции.
- •37. Численное дифференцирование на равномерной сетке, основанное на тэйлоровском разложении. Теорема об аппроксимации первой и второй производной.
- •38. Задача Коши. Постановка задачи. Сведение к системе для уравнения n-ого порядка.
- •39. Метод Эйлера. Алгоритм, геометрическая интерпретация, порядок точности.
- •40. Методы Рунге-Кутты повышенной точности. Метод «предиктор-корректор» и метод «средней точки».
- •41. Общая постановка краевой задачи для решения оду второго порядка. Классификация граничных условий.
- •42. Метод «стрельбы» решения краевой задачи с граничными условиями первого рода.
- •43. Метод конечных разностей решения линейной краевой задачи для оду второго порядка.
- •44. Каноническая разностная схема для линейного оду второго порядка, имеющая порядок аппроксимации .
- •45. Устойчивость разностных схем. Спектральный признак устойчивости для уравнений с постоянными коэффициентами. Примеры для оду и уравнений в частных производных.
27. Обусловленность матриц и систем лау. Число обусловленности в спектральной норме.
Пусть дана система ЛАУ с невырожденной матрицей А :
Ax=b, |
(23) |
и пусть вектор правой части b вычисляется с ошибкой .
Заменим правую часть “возмущенным” значением , тогда решение приобретет ошибку и система примет вид:
. |
(24) |
Оценим относительную ошибку решения в зависимости от относительной величины возмущения правой части .
Из (23) и (24) следует: или .
Из совокупности равенств
{согласованность матриц} . |
(25)
|
С другой стороны, из (23) следует
.
Последнее неравенство подставим в (25)
. |
(26) |
Определение 6. Число называется числом обусловленности матрицы А.
Таким образом, из (26) следует, что относительная ошибка решения пропорциональна числу обусловленности матрицы А:
.
Если (система уравнений плохо обусловлена), то небольшие погрешности вычисления правой части (небольшие “возмущения”) могут приводить к весьма большим отклонениям от точного решения.
Заметим, что это явление не связано с явлением неустойчивости (т.е. накоплением ошибок при вычислениях), а является следствием специфического свойства матрицы А и наблюдается даже в том случае, когда все вычисления делаются абсолютно точно, а возмущение правой части вызвано неточностями начальных данных при формировании системы.
Примеры плохо обусловленных систем рекомендуется рассмотреть на семинаре и лабораторной работе.
28. Метод итераций для слау специального вида. Теорема о достаточных условия сходимости.
Рассмотрим вначале систему ЛАУ специального вида
x=Tx+d, , , T - матрица . |
(27) |
Назовем эту систему системой второго рода, в отличие от вида системы (23) из параграфа 3.4.3. – системы первого рода.
Систему второго рода (27) естественно пытаться решать итерационным методом
|
(28) |
В этом методе используются лишь операции сложения и умножения, и не используется операция обращения матрицы – наиболее опасная для накопления ошибок.
Теорема 3.6. Для любой согласованной матричной нормы имеет место неравенство .
Пусть - собственный вектор матрицы , - соответствующее собственное значение. Тогда справедлива следующая цепочка равенств и неравенств:
, в силу согласованности норм. Отсюда получаем . В силу произвольности собственного значения , получаем требуемый результат .
Теорема 3.7. (Достаточное условие сходимости). Пусть система (1) невырождена, т.е. имеет единственное решение , матрица - вещественная, причем (в какой-либо матричной форме), тогда итерационная процедура (28) сходится к решению при со скоростью геометрической прогрессии.
.Поскольку - решение системы (27), то . Найдем разность .
Обозначим - вектор ошибки k-ого шага. Тогда получаем итерационную процедуру
|
(29) |
Оператор - линейный и отображает в себя. Согласно основному принципу сжатых отображений (теорема 3.1, замечание 2) для банахова пространства): если оператор T удовлетворяет условию Липшица с константой
то оператор T в уравнении (29) – сжимающий и выполняется принцип сжатых отображений.
В нашем случае имеем: .
Т.к. по условию оператор - сжимающий и, следовательно, существует единственная неподвижная точка уравнения (30)
Обозначим эту точку . Таким образом выполняютя уравнения: и, кроме того, по определентю . Отсюда , Откуда получаем: . Из единственности решения системы (27) получаем: , т.е. и итерационная процедура (28) сходится к единственной неподвижной точке со скоростью геометрической прогрессии .