18. Алгебраическая степень точности квадратурной формулы. Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.

Рассмотрим общую задачу численного интегрирования с весовой функцией .

При построении квадратурных формул интерполяционного типа на бесконечных интервалах необходимо ввести дополнительно условие на весовую функцию:

.

(1)

Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов

: .

(18)

При построении квадратурных формул Ньютона-Котеса узлы распределялись равномерно по отрезку . Очевидно, что такой способ выбора узлов становится невозможным для несобственных интегралов с бесконечными пределами. Возникает вопрос: как выбрать систему узлов квадратурной формулы, чтобы формула (16) имела наивысшую возможную алгебраическую степень точности? Напомним, что квадратурная формула имеет алгебраическую степень точности , если она точна для многочленов степени меньшей или равной . Заметим, что формула (16) содержит всего 2n неизвестных параметров (n узлов и n весовых коэффициентов). Столько же коэффициентов содержит и произвольный многочлен степени . Таким образом, наивысшая алгебраическая степень точности формулы (2*) не может быть больше .

Определение 1. Квадратурная формула (16), обеспечивающая условие:

называется квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности.

Определение 2. Квадратурная формула (18) наивысшей алгебраической степени точности носит название формулы Гаусса-Кристоффеля, а весовые коэффициенты - коэффициентов Кристоффеля.

19. Теорема о необходимых и достаточных условиях выбора узлов в формулах Гаусса-Кристоффеля.

Для того чтобы формула (18) была квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности, необходимо и достаточно, чтобы узлы совпадали с нулями полинома из системы ортогональных полиномов с весом на .

Необходимость. Пусть формула (18) имеет наивысшую алгебраическую степень точности. По определению это значит, что , где - семейство многочленов степени . Как и при выводе интерполяционных формул, обозначим -

- полином n-ой степени, нули которого совпадают с узлами интерполяции.

Рассмотрим функцию .

Т.к. - алгебраический многочлен степени , то по условию теоремы . Но т.к. , то из (18) следует, что

.

(19)

Из равенства (19) усматриваем, что , т.е многочлен ортогонален системе для .

Рассмотрим вспомогательную функцию , где - коэффициент при старшей степени многочлена . Очевидно, что - многочлен степени . Рассмотрим скалярное произведение .

Пусть , тогда

Пусть теперь тогда в силу свойства 1) ортогональных полиномов (степень полинома меньше чем ).

Т.о. ортогональна всем полиномам системы . Отсюда, в силу свойства 4) ортогональных полиномов, следует, что . Последнее равенство означает, что - нули полинома .

Достаточность. Пусть - нули полинома , и - полином степени . Требуется доказать, что для .

Очевидно, достаточно рассмотреть случай (если формула точна для многочлена степени , то она автоматически точна и для многочлена любой меньшей степени).

Пусть . Представим этот многочлен в виде:

,

(20)

где - многочлен -ой степени (частное от деления на ), , - многочлен степени (остаток от деления).

Т.к. - корни полинома , то из (4) следует, что , т.е. является интерполяционным многочленом для , следовательно

,

(21)

где - фундаментальный многочлен Лагранжа -ой степени.

Учитывая (20) и (21), распишем интеграл:

=

.

(22)

Формула (22) - квадратурная формула интерполяционного типа с погрешностью

для , а, значит, и для любого многочлена степени .

Заметим, что единственность квадратурной формулы (16) следует из единственности нулей ортогонального полинома P_n(x).