- •2. Позиционная и нормализованная формы записи чисел. Значащие и верные цифры позиционной системы.
- •3. Ошибки округления чисел. Распространение ошибок округления в арифметических операциях. Абсолютная и относительная погрешность суммы, разности, произведения и частного.
- •Определение 2. Величина называется абсолютной погрешностью представления числа X с помощью числа .
- •4. Близость в метрическом и нормированном пространствах. Расстояние и норма, их определения и свойства. Основные классы функций:
- •5. Постановка задачи интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Теорема о погрешности интерполяции. Единственность многочлена Лагранжа.
- •6. Интерполяция на равномерной сетке. Конечные разности и их свойства.
- •1) Докажем, что операторы и перестановочные. .
- •7. Интерполяционный многочлен Ньютона. Построение и оценка погрешности.
- •8. Ортогональность в гильбертовом пространстве. Многочлены Чебышёва. Определение, построение, свойства.
- •9. Применение многочленов Чебышёва к задаче интерполяции. Теорема об оптимальном выборе узлов.
- •10. Среднеквадратичное приближение функций. Постановка задачи, теорема о существовании и единственности.
- •20. Классические ортогональные многочлены. Построение ортогональных многочленов на каноническом отрезке [-1,1].
- •11. Численное интегрирование. Использование функциональных рядов.
- •12. Квадратурная формула на основе интерполяции. Формулы дл коэффициентов и остаточного члена.
- •13. Базовые квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и парабол. Формула теоретической погрешности.
- •14. Обобщенные квадратурные формулы трапеции и Симпсона (формулы Ньютона-Котеса).
- •15. Теоретич. Оценки погрешности обобщённых формул трапеции и Симпсона.
- •16. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурной формулы Симпсона.
- •17. Общие свойства полиномов ортогональных с весом.
- •18. Алгебраическая степень точности квадратурной формулы. Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Теорема о необходимых и достаточных условиях выбора узлов в формулах Гаусса-Кристоффеля.
- •21. Принцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке. Доказать единственность неподвижной точки. Следствия теоремы для банаховых пространств и пространства
- •22. Метод простых итераций решения функциональных уравнений и систем. Условия сходимости.
- •23. Метод Ньютона. Геометрическая интерпретация. Теорема о сходимости метода в одномерном случае.
- •24. Метод Ньютона в многомерном случае. Организация итерационного алгоритма.
- •25. Численные методы решения слау. Прямые и итерационные методы, общие понятия.
- •26. Нормы вещественных квадратных матриц. Спектральные свойства матриц.
- •27. Обусловленность матриц и систем лау. Число обусловленности в спектральной норме.
- •28. Метод итераций для слау специального вида. Теорема о достаточных условия сходимости.
- •29. Спектральный признак сходимости.(теорема о необх. И дост. Усл. Сходимости)
- •30.Стационарные итерационные процедуры. Приведение слау к системе специального вида.
- •31. Метод простых итераций Ричардсона. Условия сходимости.
- •32. Теорема о выборе ускоряющего множителя в методе Ричардсона.
- •33. Метод Якоби. Организация алгоритма. Теорема о достаточных условиях сходимости.
- •34. Метод Зейделя как ускорение метода Якоби. Организация алгоритма. Теорема об условиях сходимости.
- •35. Метод последовательной верхней релаксации. Задача выбора ускоряющего множителя.
- •36. Численное дифференцирование на основе интерполяции.
- •37. Численное дифференцирование на равномерной сетке, основанное на тэйлоровском разложении. Теорема об аппроксимации первой и второй производной.
- •38. Задача Коши. Постановка задачи. Сведение к системе для уравнения n-ого порядка.
- •39. Метод Эйлера. Алгоритм, геометрическая интерпретация, порядок точности.
- •40. Методы Рунге-Кутты повышенной точности. Метод «предиктор-корректор» и метод «средней точки».
- •41. Общая постановка краевой задачи для решения оду второго порядка. Классификация граничных условий.
- •42. Метод «стрельбы» решения краевой задачи с граничными условиями первого рода.
- •43. Метод конечных разностей решения линейной краевой задачи для оду второго порядка.
- •44. Каноническая разностная схема для линейного оду второго порядка, имеющая порядок аппроксимации .
- •45. Устойчивость разностных схем. Спектральный признак устойчивости для уравнений с постоянными коэффициентами. Примеры для оду и уравнений в частных производных.
26. Нормы вещественных квадратных матриц. Спектральные свойства матриц.
Пусть - вектор-столбец, . Приведем некоторые известные нормы векторов:
1. - эклидова норма вектора;
2. - так называемая -норма, или норма Гильберта-Шмидта (при совпадает с эвклидовой нормой, а при совпадает с так называемой 1-нормой).
3. - чебышевская норма.
Все эти нормы в эквивалентны: сходимость в одной из этих норм влечет за собой сходимость в другой (следствие конечности ). Перейдем к понятию матричной нормы. Пусть - множество квадратных вещественных матриц порядка . Пусть каждой матрице поставлено в соответствие число . Это число называется нормой матрицы A, если выполняются следующие аксиомы:
1. ;
2. ;
3. - неравенство треугольника;
4. - кольцевое свойство.
Определение 1. Норма называется мультипликативной, если выполняются все четыре аксиомы, и аддитивной, если выполняются только первые три аксиомы.
Определение 2. Если матричная норма удовлетворяет условию
, где , |
(1) |
то такая норма называется согласованной с нормой вектора.
Большинство используемых в числовом анализе матричных норм согласованы с той или иной векторной нормой.
Определим некоторые наиболее употребительные на практике матричные нормы.
- евклидова норма или норма Фробениуса (norm(a,‘fro’) - в MATLAB).
- спектральная норма (norm(a)=norm(a,2) в MATLAB), где - собственные значения симметричной матрицы (сингулярные числа матрицы А). Обе указанные нормы согласованы с эвклидовой нормой вектора .
- столбцовая норма (norm(a,1)). (Согласована с векторной нормой ).
- строчная норма (norm(a,inf)). (Согласована с ).
Замечание. Из всех приведенных матричных норм, согласованных с евклидовой нормой вектора, спектральная норма принимает минимальное значение.
Определение 3. Число (вообще говоря, комплексное) называется собственным значением матрицы А, соответствующим собственному вектору x, если выполняется условие: . (20)
Определение 4. Множество всех собственных чисел матрицы А , записанных с учетом их кратности, называется спектром матрицы А и обозначается S(A).
Определение 5. Спектральным радиусом r(A) квадратной матрицы А называется максимальное по модулю собственное значение матрицы A.
Система (20) эквивалентна следующей однородной системе уравнений:
. |
(21) |
Как известно из курса линейной алгебры, система (21) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда
. |
(22) |
Уравнение (22) - алгебраическое уравнение n-ой степени относительно . Все его корни – собственные значения матрицы А.
Определение 6. Сингулярным числом матрицы А называется собственное значение матрицы .
Определение 7. Матрица А называется положительно (неотрицательно) определенной (пишут: или ), если соответствующая квадратичная форма
.
Простейшие следствия из определений.
Следствие 1. (Критерий Сильвестра). все ведущие угловые миноры матрицы А положительны. доказывается в курсе линейной алгебры
Следствие 2. , причем .
следует из критерия Сильвестра.
Следствие 3. все собственные значения . (Для ).
Пусть - собственное значение, соответствующее собственному вектору v. По условию
.
Следствие 4. Пусть А – вещественная матрица матрица .
Имеем: {по св. скалярного произведения} .
Следствие 5. Сингулярные числа вещественной матрицы А – неотрицательны.
Следует из С.3 и С.4.
Следствие 6. Пусть А – вещественная и симметрическая матрица .
Имеем: .
Следствие 7. Если А – невырожденная матрица собственные значения матриц А и A-1 взаимообратны.
Пусть результат.