29. Спектральный признак сходимости.(теорема о необх. И дост. Усл. Сходимости)

(Спектральный признак сходимости). Для сходимости метода простых итераций СЛАУ второго рода необходимо и достаточно, чтобы .

Необходимость. Заметим, что если оператор удовлетворяет условию сжатости, то согласно теореме 3.6 .

Пусть теперь известно, что итерационная процедура (28) сходится при . От противного: пусть и - соответствующий собственный вектор. Выберем начальное приближение и запустим итерационную процедуру (29).

что противоречит сходимости при начальном приближении .

Достаточность. Докажем для частного случая, когда - вещественная и симметрическая матрица.

Выберем спектральную норму (норму -2):

, где - сингулярные числа матрицы .

Согласно свойству 6) , где - собственные значения матрицы . - т.е. получили достаточное условие сходимости согласно теореме 3.7. в норме -2.

Т.к. все матричные нормы эквивалентны, то сходимость в норме -2 влечет за собой сходимость и в остальных нормах.

30.Стационарные итерационные процедуры. Приведение слау к системе специального вида.

Пусть задана система ЛАУ (23) общего вида (первого рода)

.

(1)

Требуется привести данную систему к виду

x=Tx+d

(2)

с матрицей (оператором) Т, удовлетворяющей условию в какой либо матричной норме.

Рассмотрим простейший прием такого преобразования – тождественное преобразование:

,

( (31)

где Н - некоторая невырожденная матрица.

Из (31) следует, что

x=Tx+d, где .

( (32)

Определение 1. Итерационная процедура, основанная на представлениях (31)-(32)

(5)

называется линейной стационарной итерационной процедурой; при этом матрица Т в представлении (32) называется матрицей перехода, а матрица Н – матрицей расщепления.

Определение 2. Более общая линейная нестационарная итерационная процедура записывается в виде:

,

где H_k – матрица расщепления k-го шага. Соответственно матрица перехода T_k=E-H_kA – называется матрицей перехода k-го шага.

31. Метод простых итераций Ричардсона. Условия сходимости.

Рассмотрим некоторые частные случаи стационарных процедур, зависящих от выбора матрицы .

I. Метод простых итераций ( Метод Ричардсона).

Положим . Матрица перехода в этом случае имеет вид:

.

Получаем так называемый метод простых итераций или метод Ричардсона.

, или .

Выясним условия сходимости метода Ричардсона.

Пусть - собственное значение матрицы , - собственное значение матрицы . является корнем характеристического уравнения

.

- корнем уравнения

,

или: , откуда следует, что

.

Согласно теореме 3.8. условие сходимости:

.

Последнее условие, например, выполняется, если .

32. Теорема о выборе ускоряющего множителя в методе Ричардсона.

Пусть , где - некоторый параметр сходимости, с помощью которого можно оптимизировать процедуру Ричардсона.

Матрица перехода в этом случае имеет вид: .

Требуется так выбрать параметр , чтобы минимизировать спектральный радиус .

Теорема 3.9. Пусть

Тогда и достигается при ,

где - оптимальное значение параметра сходимости ускоренной итерационной процедуры Ричардсона: .

Т.к. , то все собственные значения матрицы .

Выберем в качестве матричной нормы – спектральную норму . По определению,

,

поэтому чем меньше радиус сходимости, тем быстрее сходится итерационная процедура в соответствии с принципом сжатых отображений.

Пусть - собственное значение матрицы - корень уравнения

.

Пусть - собственное значение матрицы является корнем уравнения

.

Из сравнения двух характеристических уравнений следует:

.

Таким образом,

.

Обозначим - функция от при фиксированном .

Т.к. функция кусочно линейна, то достигается на концах отрезка, следовательно

.

Найдем такое , для которого (33)

Не трудно проверить, что при выполняется следующее условие:

,

т.е. указанное в теореме значение как раз и является оптимальным в смысле критерия (33). Действительно, пусть, например,

Из последних равенств видно, что при любом знаке один из модулей будет , т.е. , что и требовалось доказать.