- •2. Позиционная и нормализованная формы записи чисел. Значащие и верные цифры позиционной системы.
- •3. Ошибки округления чисел. Распространение ошибок округления в арифметических операциях. Абсолютная и относительная погрешность суммы, разности, произведения и частного.
- •Определение 2. Величина называется абсолютной погрешностью представления числа X с помощью числа .
- •4. Близость в метрическом и нормированном пространствах. Расстояние и норма, их определения и свойства. Основные классы функций:
- •5. Постановка задачи интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Теорема о погрешности интерполяции. Единственность многочлена Лагранжа.
- •6. Интерполяция на равномерной сетке. Конечные разности и их свойства.
- •1) Докажем, что операторы и перестановочные. .
- •7. Интерполяционный многочлен Ньютона. Построение и оценка погрешности.
- •8. Ортогональность в гильбертовом пространстве. Многочлены Чебышёва. Определение, построение, свойства.
- •9. Применение многочленов Чебышёва к задаче интерполяции. Теорема об оптимальном выборе узлов.
- •10. Среднеквадратичное приближение функций. Постановка задачи, теорема о существовании и единственности.
- •20. Классические ортогональные многочлены. Построение ортогональных многочленов на каноническом отрезке [-1,1].
- •11. Численное интегрирование. Использование функциональных рядов.
- •12. Квадратурная формула на основе интерполяции. Формулы дл коэффициентов и остаточного члена.
- •13. Базовые квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и парабол. Формула теоретической погрешности.
- •14. Обобщенные квадратурные формулы трапеции и Симпсона (формулы Ньютона-Котеса).
- •15. Теоретич. Оценки погрешности обобщённых формул трапеции и Симпсона.
- •16. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурной формулы Симпсона.
- •17. Общие свойства полиномов ортогональных с весом.
- •18. Алгебраическая степень точности квадратурной формулы. Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Теорема о необходимых и достаточных условиях выбора узлов в формулах Гаусса-Кристоффеля.
- •21. Принцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке. Доказать единственность неподвижной точки. Следствия теоремы для банаховых пространств и пространства
- •22. Метод простых итераций решения функциональных уравнений и систем. Условия сходимости.
- •23. Метод Ньютона. Геометрическая интерпретация. Теорема о сходимости метода в одномерном случае.
- •24. Метод Ньютона в многомерном случае. Организация итерационного алгоритма.
- •25. Численные методы решения слау. Прямые и итерационные методы, общие понятия.
- •26. Нормы вещественных квадратных матриц. Спектральные свойства матриц.
- •27. Обусловленность матриц и систем лау. Число обусловленности в спектральной норме.
- •28. Метод итераций для слау специального вида. Теорема о достаточных условия сходимости.
- •29. Спектральный признак сходимости.(теорема о необх. И дост. Усл. Сходимости)
- •30.Стационарные итерационные процедуры. Приведение слау к системе специального вида.
- •31. Метод простых итераций Ричардсона. Условия сходимости.
- •32. Теорема о выборе ускоряющего множителя в методе Ричардсона.
- •33. Метод Якоби. Организация алгоритма. Теорема о достаточных условиях сходимости.
- •34. Метод Зейделя как ускорение метода Якоби. Организация алгоритма. Теорема об условиях сходимости.
- •35. Метод последовательной верхней релаксации. Задача выбора ускоряющего множителя.
- •36. Численное дифференцирование на основе интерполяции.
- •37. Численное дифференцирование на равномерной сетке, основанное на тэйлоровском разложении. Теорема об аппроксимации первой и второй производной.
- •38. Задача Коши. Постановка задачи. Сведение к системе для уравнения n-ого порядка.
- •39. Метод Эйлера. Алгоритм, геометрическая интерпретация, порядок точности.
- •40. Методы Рунге-Кутты повышенной точности. Метод «предиктор-корректор» и метод «средней точки».
- •41. Общая постановка краевой задачи для решения оду второго порядка. Классификация граничных условий.
- •42. Метод «стрельбы» решения краевой задачи с граничными условиями первого рода.
- •43. Метод конечных разностей решения линейной краевой задачи для оду второго порядка.
- •44. Каноническая разностная схема для линейного оду второго порядка, имеющая порядок аппроксимации .
- •45. Устойчивость разностных схем. Спектральный признак устойчивости для уравнений с постоянными коэффициентами. Примеры для оду и уравнений в частных производных.
6. Интерполяция на равномерной сетке. Конечные разности и их свойства.
Пусть задана равномерная сетка узлов . Обозначим – множество узловых точек.
Определение. Величина
называется конечной разностью первого порядка (или разностью «на шаг вперед»).
… …………………..
|
- конечная разность m-го порядка.
Свойства конечных разностей.
1. Операторы - линейные операторы.
Пусть - произвольные табличные значения.
Доказательство проводим по индукции. Вначале проверяем утверждение для m=1.
оператор линейный.
Далее пусть - линейный оператор. Покажем, что и линейный.
2. линейно выражается через значения .
По индукции. Для m=1 и 2 уже доказано в определении. Пусть утверждение справедливо для , где m>2, тогда
Пример 9. Выразить явно через . Самостоятельно.
3. Операторы и - перестановочные, т.е. .
1) Докажем, что операторы и перестановочные. .
В обратном порядке:
То же самое получим, действуя в обратном порядке.
4. Рассмотрим сетку , в ней введен дополнительный узел . Пусть функция Тогда справедливы следующие формулы:
. |
(14) |
. |
(15) |
Пусть m=1. Тогда
где h – приращение аргумента.
m=2.
(1).
Уравнение (15) является частным случаем уравнения (14) при .
5. Для сетки Xn рассмотрим полином m-го порядка
.
Таким образом для полинома -го порядка конечные разности -го порядка постоянны, а конечные разности порядков, больших, чем , равны нулю.
7. Интерполяционный многочлен Ньютона. Построение и оценка погрешности.
Пусть - сетка равноотстоящих узлов. Известны табличные значения некоторой функции .
Запишем многочлен Лагранжа в следующем виде:
. |
(16) |
Введем безразмерную переменную
, где h – шаг. Очевидно, что для данной сетки .
Потребуем выполнения условий совпадения значений полинома с табличными значениями в узловых точках
Далее по индукции получаем общую формулу для коэффициента
Заметим, что из определения q следует, что
. |
(17) |
Подставляя (17) и формулу для в (16), получаем:
|
(18) |
Формула (18) называется первой интерполяционной формулой Ньютона или формулой «интерполирования вперед».
Замечание. Мы получили два различных представления для одного и того же интерполяционного полинома (интерполяционный полином Лагранжа и интерполяционный полином Ньютона). Отметим некоторые очевидные особенности практического применения этих двух видов.
Интерполяционный полином в форме Лагранжа содержит значения в явном виде. Это удобно, когда надо построить интерполяционный полином по той же сетке, но для другой функции . В этом случае достаточно значения поменять на .
Интерполяционный полином в форме Ньютона (4) содержит значения неявно (через конечные разности). Однако он удобен, когда для той же функции необходимо увеличить число узлов n для повышения точности. В этом случае к исходной записи многочлена достаточно добавить несколько таких же членов, если в запасе остались неиспользованными узлы сетки.
Кроме того, на практике обычно формулу (18) используют для интерполяции в точках x, близких к точке x0. В этом случае q мало и требуется небольшое число членов ряда для достижения нужной точности.
В то же время многочлен в форме Лагранжа дает, как правило, наибольшую максимальную абсолютную погрешность в точках, близких к краям отрезка .
Приведем простейшие частые случаи интерполяции по Ньютону:
1) Линейная интерполяция, : .
2) Квадратичная интерполяция, : .
Пример 11. Задана таблица интерполяции в равноотстоящих узлах.
Используя интерполяцию по Ньютону, вычислить приближенно значение .
Составляем конечные разности и дополняем таблицу столбцами конечных разностей и . Обнаруживаем, что вторые конечные разности постоянны. Следовательно, и достаточно ограничиться многочленом 2-го порядка: .
Используя первую строку таблицы и значение , получаем
.
Погрешность интерполяционной формулы Ньютона.
Нам известна теоретическая оценка погрешности интерполяции в точке по Лагранжу .
Преобразуем многочлен для случая равноотстоящих узлов:
Поскольку , то .
Т.о. для оценки погрешности в точке получаем: или
, где . (19)
Из формулы (19) следует оценка для максимальной абсолютной погрешности интерполяционной формулы Ньютона на всем отрезке
. |
(20) |
Пример 12. Показать, что из формулы (20) следует более простая, но завышенная оценка , (21)
подчеркивающая степенную зависимость точности интерполяции от шага h.
Для вывода (21) показать сначала, что .
Доказательство провести по индукции: и т.д.
Пример 14. Вывести вторую интерполяционную формулу Ньютона (формулу «интерполирования назад»).
Ищем интерполяционный многочлен в виде:
. |
(22) |
Накладывая условия ;
аналогично выводу формулы (18), получим общее выражение для : Вводя безразмерную переменную
и преобразуя (22), получаем выражение для второй формулы Ньютона:
. |
(23) |
Для погрешности интерполяции получаем соответственно:
В формуле (23) используются конечные разности которые образуются в последних строках таблицы.
Замечание. Множество различных видов интерполяционных полиномов не исчерпывается приведенными тремя видами. Результат зависит от двух факторов: от вида сетки (равномерная или неравномерная) и от выбора базового узла . Например для равномерной сетки и при выборе базового узла в центральной части отрезка используются так называемые центральные разности. В результате получаются еще 3 вида записи интерполяционных полиномов: формулы Гаусса, Стирлинга и Бесселя [1].